多项式方程求根.pptVIP

* 存在唯一的多项 多项式方程求根 两种特殊方法 1. 牛顿法求多项式方程的根 2. 劈因子法 预备知识 引理 对于任意多项式c(x)和d (x), 其中 式Q(x)、r (x)满足 c(x)= Q(x) d (x)+ r (x) 且 r (x)次数小于d (x)的次数 , Q(x)称商多项式 , r (x)称余多项式. 1. 牛顿法求多项式方程的根 问题 求解方程 f(x) ≡a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an=0 其中系数a0 ,a1, ……,an-1, an 是实数. 思想方法 (1)建立多项式系数与 f (xk)的关系, 即f (xk)的计算格式; (2)建立f (xk)的计算格式; (3)得出牛顿法求多项式方程的根的计算方法. (1) 理论依据 多项式相等, 其对应项系数分别相等. N-公式 推导公式 f (x) ≡a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an=0 多项式f (x)除以(x-xk), 设商为 Q(x)=b0xn-1+b1xn-2+……+bn-2x+bn-1 余数为 bn , 则 f (x)= (x-xk) Q (x)+bn 将 f (x)和Q (x) 代入上式, 有 a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an =(x-xk) (b0xn-1+b1xn-2+……+bn-2x+bn-1)+bn = b0xn+ (b1-xkb0) xn-1+ (b2-xkb1) xn-2+……+bn-xkbn-1 由两个多项式相等的充要条件, 得 b0= a0 b1= a1+xkb0 b2= a2+xkb1 …… bn= an+xkbn-1 递推关系式 (2) (1) f (xk)的计算格式 设xk是方程 f(x) =0的近似解 说明 实际上是用秦九韶计算顺序计算f(xk ) =bn. 多项式Q(x)除以(x-xk), 设商为 H(x)=c0xn-2+c1xn-3+……+cn-3x+cn-2 余数为 cn-1 , 则 Q(x)= (x-xk)H(x)+cn-1 将Q(x)和H(x) 代入上式, 有 b0xn-1+b1xn-2+……+bn-2x+bn-1 =(x-xk) (c0xn-2+c1xn-3+……+cn-3x+cn-2)+cn-1 = c0xn-1+ (c1-xkc0) xn-2+ (c2-xkc1) xn-3+……+cn-1-xkcn-2 由两个多项式相等的充要条件, 得 c0= b0 c1= b1+xkc0 …… cn-1= bn-1+xkcn-2 递推关系式 对f (x)= (x-xk) Q (x)+bn求导, 得 并考虑到式(3)式, 有 (3) (2) f′(xk)的计算格式 Q(x)=b0xn-1+b1xn-2+……+bn-2x+bn-1 (3) 牛顿法求多项式方程的根的计算步骤 ① 取x0=0 , 或找出初始值 x0. ② 对 k =0,1,2,…,计算 ③ 误差判断 ，或用|xk+1-xk| 例1 设f (x)=x3 –x2 +2x +5,若取x0=-1,用递推公式计算f (xk), f (xk), 并按牛顿迭代过程计算xk+1 ,k =0,1,… . 计算结果如表1所示 . -0.010305 1 -3.285714 9.141426 1 -2.142857 4.448979 -0.084546 -1.142857 1 0.002691 1 -3.259614 8.089006 1 -2.129807 4.406241 -0.021764 -1.129807 2 0.142857 1 -3 7 1 -2 4 1 -1 0 -0.000004 1 -3.264996 8.089006 1 -2.132498 4.415050 -0.000035 -1.132498 3 1 -2.132494 4.415037 -0.000003 -1.132494 4 表1 2. 劈因子法 ( 牛顿法的推广 ) 使用范围 求实多项式的复根 思想方法 从多项式的某个近似二次因式出发, 用迭代的方法 , 使之逐步精确, 求出满足精度要求的数值解. (1) 推导公式 f (x) ≡a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an=0 f (x)除以x2+ux+v, 设商为 p(x)=b0xn-2+b1xn-3+……+bn-3x+bn-2 余数为r0x+r1,因此, 有 f (x)= (x2+ux+v) p(x)+ r0x+r1 r0 ,r1都是u,v的函数, 即 若r0 ,r1越小, x2+ux+v越接近f (x)的二次因式；若r0 =0,r1=0，则 x