多元函数微分学(月日).pptVIP

定义 * 南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲 * 南开大学 高等数学(信息类) 主讲人： 王秀玲 一、平面点集 n维欧氏空间 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 第一节 多元函数的基本概念 中的点列收敛 (了解) 定义 定理 定理 柯西收敛准则 中其它完备性定理见P34. 四、 多元函数的连续性 定义 . 设 n 元函数 定义在 D 上, 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上 否则称为不连续, 此时 称为间断点 . 则称 n 元函数 连续. 连续, 连续的充要条件是 例如, 函数 在点(0 , 0) 极限不存在, 又如, 函数 上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点. 在圆周 结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续. 例1 设 试证 f(x, y)在原点连续. 证 所以 f(x, y)在原点连续. 要证 例2 设 讨论 f(x, y)的连续性. 解 例2 设 讨论 f(x, y)的连续性. 解 例3 证明 在点(0,0)处沿此点的每条射线 连续, 定理 若 f (x,y)和g(x,y) 在 连续, 则函数 若函数 定理 则复合函数 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: 定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则 * (4) f (P) 必在D 上一致连续 . 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ; (3) 对任意 (有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) (证明略) 解: 原式 例4.求 例5. 求函数 的连续域. 解: 一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数(下节课) 6.2 偏 导 数 在点 存在, 的偏导数，记为 的某邻域内有定义, 则称此极限为函数 若极限 设函数 注意: 同样可定义对 y 的偏导数 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为 或 y 偏导数存在 , 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 偏导数定义为 (请自己写出) 二元函数偏导数的几何意义: 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 对 y 轴的 例1 . 求 解法1: 解法2: 在点(1 , 2) 处的偏导数. 例2. 设 证: 例3. 求 的偏导数 . 解: 求证