多元函数极限与连续学习.pptVIP

数学分析复习（二）多元函数的极限与连续 例 求下列极限： （1） 例 证明下列极限不存在:(利用归结原理的推论) P.136:第1题:讨论下列函数的连续性: 第9题:设f在R2上连续，且 第6题：设f(x,y)在开集G?R2上对x连续，对y满 足Lipschitz条件： (x,y) ∈G,必有(x,y0) ∈且 * 一、多元函数的极限 定义 设D?Rn,f:D→R.点a∈Rn是D的一个聚 点(a∈D′),s∈R.如果??0,??0,当x?D及 则称函数f在点a处有(重)极限， 或当x趋于a时,f(x)趋于s, 记作 或 |f(x)-s|?, 定义 设D?Rn为函数f的定义域，P0为D的一 个聚点。 如果?M0,?P0的一个?空心邻域 使当P∈ ∩D时, ,则称 f在D上当P→P0时，存在非正常极限+∞，记作 无穷小量的定义与性质. 命题： 设D?Rn,f:D→R.点P0(x0,y0)∈Rn是D的一 个聚点(P0∈D′),A∈R.P(x,y) ∈D 性质: (1)四则运算法则 (2)归结原理 (3)唯一性、局部有界性、局部保号性 (3)无穷小量性质 如何求多元函数的极限？ （1）由定义求多元函数的极限。 例1 证明: 证明: 例2 证明: 例3 证明: 证明： 此时， (2)利用极限的四则运算和复合运算求极限. (经变形后) (3)化为一元函数求极限. 如 (4)应用代换x=rcos?,y=rsin?(0≤r∞), 使求 的问题，变为求 的问题。 但必须要求当r→0的过程中，与?的取值无关。 如 （5）利用无穷小量性质（无穷小量与有界量之积 仍为无穷小量)， 如 (6)夹逼准则：设D?Rn,P0∈D′, 且 则 例 求 解： 因为极限过程为x→+∞,y→+∞,可设x0,y0. 于是 例 求 解： 所以 可设2≤x≤4,|y|≥8. 二、多元连续函数 定义 性质（局部性质与有界闭集上的连续函数的性质） 一致连续 有界闭区域上连续函数的性质 (二)多元函数连续的定义 定义 设f 是定义在点集D?Rn上的n元函数， P0∈D（P0或者是D的聚点，或者是D的孤立点）。 若??0,??=?(P0, ?)0,只要P?U(P0,?) ∩D,就有 则称f关于集合D在点P0连续，简称f在点P0连续。 若P0是D的孤立点，则P0必为f关于D的连续点; 若P0是D的聚点,则f在P0点连续，要求满足： (1)f在P0点有定义f(P0); (2) (3) 若f在D上每一点都连续，则称f在D上连续。 如果P0是D的聚点，而 不成立， 则称P0是f的不连续点（或间断点）。 特别，当上式左端的极限存在但不等于f(P0),称 P0是 f的可去间断点。 而 及 所以 证明: (1)f在R2上有界；（2）f在R2上一致连续。 证明：由于 存在M0,使当r≥M时有 而当x2+y2≤M2,在此有界闭区域上,连续函数f有界，即 取W=max{|A|+1,K},则 （2） 当在有界闭区域 上函数f一致连续。 再证f 在R上一致连续. 从而,f 在R上一致连续. 证明： ?P0(x0,y0)?G，由于f对x连续，G是开集， 从而存在U(P0,?)?G,从而f(x,y0)在x0连续，于是 ??0,??10,当|x-x0|?1时，有 当|x-x0|?,|y-y0|?，且