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三、调和函数 拉普拉斯资料 第三节 初等函数 一、指数函数 二、对数函数 三、幂函数 四、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数 六、小结 本章内容总结 * Riemann 黎曼资料 Born: 17 Sept 1826 in Breselenz, Hanover (now Germany)Died: 20 July 1866 in Selasca, Italy Pierre-Simon Laplace Born: 23 March 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, FranceDied: 5 March 1827 in Paris, France 一、指数函数 二、对数函数 三、乘幂 ab 与幂函数 四、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数 六、小结与思考 1.指数函数的定义: 指数函数的定义等价于关系式: 或 加法定理 2. 性质 解析性：在复平面上处处解析，且 周期性： 例1 解 例2 解 求出下列复数的辐角主值: 1. 定义 其余各值为 特殊地, 例3 解 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 复变数对数函数是实变数对数函数的拓广. 练习 解 例4 解 2. 性质 　设z为不等于零的复变数, m为任意 为 一个复数，定义幂函数 即 当z为正实变数，m为实数时，它与实幂函数 的定义一致；而z为复变数，m为复数时 1. 定义 由于 的多值性，所以 也是多值的， 称为 的主值. 易见： 1. 当m是整数时， 是单值函数； 2. 当m为有理数 时, 其中 为既约 分数, 那么 是有限多值的，且 3. 当m为无理数或虚部不为零的复数时， 是无穷多值的. 2. 性质 (1). 上述定义实质上包含了复数的n次幂函数 与n次方根函数的定义. 因为 (1) 当m=n (n是正整数)时, (指数为n项之和) (n个因子 之积) (n个因子z 之积) 当z给定时，它与复数z的n次方根的定义 完全一致. (2) 当 时，有 例5 解 答案 课堂练习 因为 在除去原点和负实轴的复平面内 所以幂函数 在该区域上解析。 并且根据复合函数求导公式, 可得 是解析的, (2). 1. 三角函数的定义 将两式相加与相减, 得 现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况. 例6 有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数. (注意：这是与实变函数完全不同的) 其他复变数三角函数的定义 例7 2. 双曲函数的定义 双曲正弦函数 双曲余弦函数 当z是实变数时，它们与实的正弦、余弦、 双曲正弦、双曲余弦函数是一致的. 2 性质 (2) 是以 为周期的周期函数. (3) 为奇函数; 为偶函数. (1) 双曲正弦、双曲余弦函数在整个复平面上都是解析的. 且 1. 反三角函数的定义 两端取对数得 同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式: 2. 反双曲函数的定义 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 指数函数具有周期性 2. 负数无对数的结论不再成立 3. 三角正弦与余弦不再具有有界性 复变函数 初等解析函数 判别方法 可导 解析 指数函数 对数函数 (反)三角函数 双曲函数 幂 函 数 解析函数与调和函数 * 常用结论 (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. * 定理一 二、函数解析的充分必要条件 * 证 (1) 必要性. * * (2) 充分性. 由于 * * * [证毕] * * 解析函数的判定方法: * 二、典型例题 例3 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: 解 不满足柯西－黎曼方程, * 四个偏导数均连续 指数函数 * 四个偏导数均连续 * 例4 解 * 例5 证 * 参照以上例题可进一步证明: 1 概念 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用. 2、解析函数与调和函数的关系 定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数. 反之,给定D内调和函数u(x,y), v(x,y)，分别以它们为实部和虚部构成的复变函数 u(x,y)＋iv(x,y)是否就是解析函数? 3. 共轭调和函数的定义 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数. 讨论：已知一个调和函数 u