向量理论(三).pptVIP

定义1 若向量组 中的每一个向量都可以由向量组 线性表示,则称向量组 可由向量组线性表示，若向量组 和 可以互相线性表示，则称两个向量组等价 一 、等价的向量组 向量组 可由 线性表示 向量组 可由 线性表示等价于存在 的 矩阵 使 若向量组 和 等价 等价向量组的性质： 1：自反性：一个向量组与其自身等价 2：对称性：若向量组 和 等价，则向量组 和 等价。 3：传递性：若向量组 和 等价，向量组 和 等价，则向量组 和 等价。 定理1 设 中的两个向量组 和 若向量组 可由 线性表示，且 ， 则向量组 线性相关 少的表示多的，多 的一定线性相关 注： ，不能相等， 时，结论不一定成立 定理1的逆否命题： 推论1：若向量组 可由向量组 线性表示，又已知 线性无关，则必有 推论2：两个线性无关的向量组互相等价，则它 们所含的向量个数相等 注：若只是等价的向量组，它们所含的向量个数未必相等 极大线性无关组等价定义 二　极大线性无关组 1.一个向量组的极大线性无关组可能不唯一 2. 向量组和其极大线性无关组等价 (一个向量组的任何两个极大线性无关组都等价) 3. 一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数唯一确定。 注: 定义3 一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数称为向量组的秩。 线性无关的向量组的秩等于向量组的向量的个数 例1：设n维基本向量组 可由向量组 线性表示。证明 线性无关 三 向量组的秩与矩阵的秩的关系 定理2 矩阵A的行初等变换不改变A的列 向量组的线性相关性和线性组合关系 例2: 等于它的行向量组的秩. 定理 3 矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也 求向量组的最大无关组的步骤: 例3：设有向量组 (1)求向量组的秩，并讨论它的线性相关性。 (2)求向量组的一个极大线性无关组。 (3)把其余向量表示成为该极大线性无关组的线性组合 解：取 (1)向量组即为A的列向量R(A)=2,所以向量组的秩为2。 (2) 为向量组的一个极大线性无关组 (3) 推论：设A 为 矩阵，秩 ，则有: (1)当r=m 时，A 的行向量组线性无关;当rm时， A的行向量组线性相关 (2)当r=n 时，A 的列向量组线性无关;当rn时， A的列向量组线性相关。 当A为n阶方阵时，即当m=n时，A的列(行)向量组 线性无关的充要条件是 由矩阵的秩和它的向量组的秩的关系，我们立刻会发现一个有趣的现象： 第四节 向 量 空 间 一、向量空间的定义 定义 1 设 V 为 n 维向量的集合,如果集合 V 非空, 且 那么就称集合 V 为向量空间. 则 a + b ? V; 若 a ? V, ? ? R, 则 ? a ? V. 若 a ? V, b ? V, 例 １ 集合 V = { x = (0, x2 , ... , xn)T | x2 , ... , xn ? R} 是一个向量空间. 例 ２ 集合 V = { x = (1 , x2 , ... , xn )T | x2 , ... , xn ? R } 不是向量空间. 一般地，L = { x = ?a + ?b | ? , ? ? R } x1 =?1a +?1b, x2 =?2a +?2b 则有 x1 + x2 = (?1+?1)a + ( ?1 + ?2 )b ? L, kx1 = (k?1)a + (k?1)b ? L . 　　这个向量空间称为由向量 a , b 所生成的向量空间. 是一个向量空间. 因为若 由向量组 a1 , a2 , ... , am