兰州大学2010年数学分析考研考试及解答.docVIP

兰州大学2010年数学分析考研试题 1 求极限。 2 求定积分。 3 设，求和。 4 计算积分。 5 设是柱面与平面的交线（），且从轴正向看为逆时针方向。计算积分。 6 设，为单位球面，计算积分 。 7 设实函数，讨论的连续性，并说明是否可在处定义的值，使得在该点可导。 8 已知函数在上有二阶导数，并且，。记的图像曲线为，过上点引切线，证明：当变动时，由该切线与曲线以及直线，围成的平面图形面积可取到最小值，并求出此值。 9 用一致连续的定义验证在上不一致连续。 10 在区间上，函数定义为，讨论在上的Riemann可积性。 11 设在闭区间上的连续可导函数，记，假设，且对，有，证明：是有限集。 12 设是有界闭集，是上的连续函数，证明：在上有界，且一定取到最大值和最小值。 兰州大学2010年数学分析考研试题解答 1 解 。 2 解 , 。 3 解 当时，， ， ， ， ， 而， 。 4 解 原式 。 5 解 设， ， ， 利用Stokes公式，得 。 6 解 ，， ， 。 7 解 当（为整数）时， ， 而为的第二类间断点，而为的可去间断点，可定义，使得在处连续。 且 。 即在处可导。 8 解 根据题设条件之，为上凸函数，根据题意所指面积 ， , 当时，； 当时，； 当时，， 所以在处达到最小值， 。 9 取，， 尽管有， 但，， 故在上不一致连续。 10 解 由，知 ，，， 对正整数，当，， 当，， ， 。 于是，的间断点为是可数集，且只有唯一聚点，所以在上是Riemann可积的。 对任意，显然在是Riemann可积的。 对于上的任意分割， 记为在区间上的振幅，， ， 由此可推知在上是Riemann可积。 11 证明 用反证法。 假若是无限集，则存在，使得， ，，， 由在上连续，有，即， 由题设条件，存在介于与之间，，使得， 在上连续，于是，矛盾。 所以假设不成立，故结论得证。 12 证明 书上的定理有证明。 6