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例说因式分解的方法与技巧 广东石油化工学院高州师范学院308数学（1）班 梁贻云 【摘要】多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，也是代数式恒等变形的一个重要组成部分。因式分解在代数的运算、解方程等方面都有极其广泛的应用。本文阐述了因式分解概念，并详细地介绍了因式分解的方法 【关键词】 多项式 因式分解 应用 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的 解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习 的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注 意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。 多项式分解的定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分 解，也叫做分解因式。 多项式因式分解的方法 （一）提公因式法 定义： 把多项式中每项都含有的公因式提出来，从而把多项式化成两 因式相乘的形式叫提公因数法。 . 提公因式法基本步骤：找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确母； 2.提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。； （二）运用公式法 平方差公式：；完全平方公式：立方和公式： 立方差公式： 完全立方公式： 比如： = = 我们把和分一组，和分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难同样，这道题也可以这样做 = = （四）十字相乘法 十字相乘法实际上是借助十字交叉分解系数，建立的十字交叉线图，既直观 又易于比较系数之间的关系，尤其方便调整因数 ，使之达到分解因式的目的， 这种方法体现了数学中的一种思想，那就是数形结合的思想。 如果有，，且有时，那么 例：因为 1 -3 × 7 2 -3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19， 所以令多项式,求出其根为……，则该多项式可分解为……．例如在分解时，令 则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1． 所以=例： = =． 解：用待定系数法：设 =把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），得　=用恒等式的性质，比较同类项系数，∴=本题也可用换元法：　　设, 　那么的多项式化为关于 的多项式，最后再把换成 －1待定系数法的关键是首先判断分解的形式，要求解题者具有较强的预见性。 （八）换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意:换元后勿忘还元. 例在分解时，可以令,则 原式= = = = = = 三、多项式因式分解的特点 结果的对称型：由于一个多项式的可约与不可约都是相对于某个数域而言的，因此一道因式分解题究竟分解到何时才算是结局，应是给定数域而异。 对于定义域上的多项式的因式分解，在高等代数中已经证明了这种分解的结果除常数因式外是唯一的。 四、因式分解四个注意 因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。 现举下例 可供参考 例 把分解因式。 解：＝－＝－ 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如＝的错误 例2把分解因式。解： 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如＝的错误。 考试时应注意： 在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了 数学与计算机系 数学教育 例说因式分解的方法和技巧 广东石油化工学院高州师范学院毕业论文 —6— —5—