两角差余弦公式().docVIP

（幻灯片1）两角差与和的余弦公式 （正课开始，幻灯片2）老师：请同学们思考，在三角函数中，我们学过哪些基本的三角函数公式？ （同学回答+板书） 老师：对于30°，45°，60°等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150°，210°，315°等角的三角函数值，那么对于非特殊的角，例如15°，75°它们的三角函数值如何求得？ （问同学们的思路） 老师：以现有的知识我们不能解决这个问题，于是我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据。刚才同学们猜到可以把15°拆成45°-30°或者是60°-45°；对于75°可以拆成45°+30°，因为45°和30°，60°角的三角函数是我们熟悉的，这是一种很好的思想。那么一般地，（幻灯3）若已知α，β的三角函数值，cos(α－β)的值是否确定？它与α，β的三角函数值有什么关系？cos(α+β)的值是否确定？它与α，β的三角函数值又有什么关系？这是我们需要探索的问题.这就是本节课我们要学习的内容--------《两角差与和的余弦公式》（幻灯片4） （幻灯片5）我们设想cos(α－β)的值与α，β的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？你猜想cos(α－β)等于什么？ （同学回答） 因此，（幻灯片6）我们猜想cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ。当然这只是我们的一个猜想。我们常说的探究的两个步骤，先猜想结果，然后还需要我们对其严格的证明，看看我们的猜想是不是正确的。在这里我们讨论是对于任意的角、，那么对这个假设的证明，同学们有没有思路呢？ （同学回答：、是任意角，因此考虑特殊情况，当、、都是锐角的情况。） 老师：我们以退为进，不妨假设、、都是锐角，那么如何构造呢 （同学回答：由于在前面我们学习过三角函数线，所以我们尝试在单位圆中构造三角函数。） 老师：那么我们试试看，按同学所说，我们可以构造一个单位圆，那么在这个单位圆中，角、、应该如何构造？ （幻灯片7）如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？ 先以ox为始边，逆时针方向旋转，构造锐角，角终边和单位圆相交与；做（），角终边和单位圆相交与，显然就构造出来了。我们要知道，那么在这个图形中，如何用余弦线表示呢？过点做x轴的垂线,则，这样我们通过三角函数线得出了的表示 （幻灯片8）同学们再思考：如何用线段分别表示sinβ和cosβ？ 由于不是直角三角形，那么我们构造直角三角形。过做的垂线，设交于点，由于，故，那么和不相等，但它们之间有一定的关系。于是我们继续做直角三角形。 （幻灯片9）cosαcosβ＝OAcosα，它表示哪条线段长？ sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段长？ 过点做的垂线，交于点。过点做的垂线，交于点。显然=,其中,而，故,所以我们得到. （幻灯片10）利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什么结论？ （幻灯片11）我们再来回顾这个过程 我们假设、、均为锐角，则OB=OAcos=coscos,与单位圆交于点P1，与单位圆交于点P。显然为途中紫色区域的角，我们过P点作PM垂直X轴，根据三角函数线的知识，知OM为cos（），我们再过点P点做PA垂直OP.同理知，PA=sin,OA=cos,再过A作AB垂直OM,则OB=OAcos=coscos,过点P点作PC垂直AB,OM=OB+BM,而BM=CP,在三角形ACP中，CP=APsin=sinsin,即。BM=sinsin,因此我们得到OM=coscos+sinsin,即cos()=coscos+sinsin. 这是在、都是锐角的情况下得到的两角差的余弦公式，当、时任意角的时候，这个公式也是成立的。待我们学过第二章向量的知识后，再对这个问题进行证明。 我们来观察两角差的余弦公式，同学们看看它的结构上有什么特点？我们如何记忆？ (同学:在结构上，左边是两角差的余弦，而右边是同名三角函数积的和。) 老师：左边是两角差的余弦，右边是同名三角函数积的和，也就是同名之积相加减，运算符号左右反。简记：。那么对于两角和的余弦公式，咱们同学思考应该是什么样的呢？ (幻灯片12+幻灯13+推导+幻灯14) 下面我们来看例一，求的值 （给同学时间，幻灯片15） 如何求解这个问题，那个同学说看怎么做。 同学：15°可以拆成45°和30°。由于45°和30°这两个角的正弦和余弦是我们知道的，所以利用两角差的余弦公式可以得到的值。 老师：他刚刚说出了，我们可以把这个未知的值转化为我们熟悉的角45°和30°来表示，因为特殊的角的正弦值和余弦值是我们知道的。这也是我们三角函数的本质，其实它的形式上发生了改变，其本质是不变的。 （幻灯片写出）