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《空间向量的夹角》教学设计 ——第二册（下）“空间向量的坐标运算”第三课时 蒋敏慧 一、教材分析 1、教材的地位与作用 本节课是在已完成了“平面向量的数量积公式、夹角公式，空间向量的坐标表示，空间向量的数量积”等内容的教学以后进行的，是《空间向量的坐标运算》的第3课时，是空间向量在立体几何中的简单应用。这节课的教学，为向量在数学和物理上的综合运用奠定了基础。 按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、演绎推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。用向量法处理立体几何问题，把对空间图形的研究从“定性推理”转化为“定量计算”，有助于学生克服空间想象力的障碍而顺利解题。 2、教学重点难点 重点：空间向量夹角公式及其坐标表示法；选择恰当的方法求两条异面直线的夹角。 难点：两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹角之间的区别；恰当的构建空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标。 关键：建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标，将几何问题转化为代数问题。 二、教学目标 1、知识目标： ①使学生掌握空间向量的夹角公式及其简单应用； ②提高学生选择恰当的方法求两条异面直线夹角的技能； 2、能力目标： ①在与平面向量的夹角公式的比较基础上，培养学生观察、分析、类比转化的能力； ②通过对空间几何图形的探究，使学生会恰当地建立空间直角坐标系；通过空间向量的坐标表示法的学习，使学生经历对空间图形的研究从“定性推理”到“定量计算”的转化过程，从而提高分析问题、解决问题的能力。 3、情感目标： ①通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位； ②通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情。 三、教学方法与手段 1、教学方法：采用启发式讲解、互动式讨论、研究式探索、反馈式评价等授课方式，充分发挥学生的主体地位，营造生动活泼的课堂教学氛围。 2、学习方法：自主探索、观察发现、类比猜想、合???交流。 3、教学手段：借助多媒体计算机（几何画板、实物投影、幻灯片等）辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性。 四、教学程序 教学程序教学内容设计说明1、创设情境复 习 引 F1 A1 E D C1 C B1 D1 B A 入情境：如图1已知正方体ABCD-A1B1C1D中，，求证与垂直。 问题1: 若将E点在AA1，A1B1上移动，若移至 A1B1的E1处，如图2，又如何确定与的夹角？ D C1 C B1 A1 D1 F1 E1 B A E 图1 图2学生活动——复习回顾 1、学生回顾上节课学习的:两个非零向量 2、由教师提出当点E在AA1、A1B1上移动时，与还是否垂直? 3、以将点E移至E1处为例，我们又将如何确定与的夹角？ 从而很自然的引出本节课的课题，拉开了本节课教学的序幕。2、建构数学（学生归纳，教师总结）类 比 推 广类比：对于平面内两个向量的夹角问题我们是如何求得的? 问题2：是否可以将平面内求得两个向量的夹角公式推广到空间?公式的形式有何变化？学生活动——类比推广 通过与平面向量的夹角公式的类比，让学生猜想空间两个非零向量的夹角公式，然后推广到空间。 希望提高学生的类比转化能力。对于空间两个非零向量，其夹角为θ，仍有 ，用坐标表示为 。 （将几何问题转化为代数问题，让学生体验将空间形式的研究，从“定性”推理到“定量”计算的转化。提高学生的类比转化能力，让学生感受知识货的的过程）练 习求下列两个向量夹角的余弦值 （1）， （2）。学生活动——及时巩固 为了及时巩固空间向量的夹角公式，我设计了以下两道直接利用公式求空间向量夹角的练习题，以达到学以致用，熟能生巧的目的。3、知识运用（学生活动为主，教师活动为辅）例 题例1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，求BE1与DF1所成角的 A B D C1 C B1 A1 D1 F1 E1 余弦值。 z y D C1 C B1 A1 D1 F1 E1 B A x 分析： D A C1 C B B1 A1 D1 F1 E1 E F 学生活动—— 例题讲解（发散性思维） 一方面解决课题引入中的问题，一方面体现空间向量的应用。 学生可能想到的解法有： 方法一：传统的几何法-—平移法，即将两条异面直线平移直至构成一个三角形，利用余弦定理而求得； 方法二：向量法 由学生建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，从而求得对应向量的坐标，代入公式，由于学生所取向量的方向不一样，求出 而有的学生求出的是 突破难点学生提问：此题所求的是两条异面直线的夹角，而不是两个空间向量的夹角，两者有什么区别？