三个正数的均值不等式.docVIP

课题 §4.5.1 三个正数的算术—几何平均不等式 授课时间 2008.05.29 授课班级 高二（4)班 课型 新课 授课人 张美莲 教学 目标 知识与技能 1掌握三个正数的算术—几何平均不等式及其推广 2会利用三个正数的算术—几何平均不等式求解最值 过程与方法 在学生已知的基础上，通过观察、猜想和师生共同探讨并证明三个正数的算术—几何平均不等式，并掌握一些利用不等式求最值的应用 情感态度与价值观 培养学生分析转化的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点。 教材分析 教学重点 三个正数的算术—几何平均不等式 教学难点 三个正数的算术—几何平均不等式在求最值中的应用 学法 指导 在学习中学生采用“自主探索---合作交流---问题解决”的小组方式进行学习。 教学方法 教学中采用“问题情境----引导思考----解释、应用”的模式进行教学。 教具 电脑,多媒体课件等 三、教学设想 设计意图 师生活动 复习引入 基本不等式：如果那么 当且仅当时成立 复习旧知识，让学生容易进入新课的学习。 请学生作答。 二、讲授新课 思考：基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立？ 使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知。 学生回顾，并回答。 类比基本不等式的形式，我们猜想： 对于个正数可能有： 如果R+，那么有， 当且仅当时，等号成立。 知识储备：和的立方公式： 立方和公式： 证明： 所以 当且仅当时，等号成立。 引导学生观察课件进行探究性学习，总结出两直线平行的判断 对上述结果作简单的恒等变形，就可以得到 定理：如果R+，那么有， 当且仅当时，等号成立。 这个等式表述为：三个正数的算术—几何平均不等式 注： １、若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值。 2、若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值。 事实上，基本不等式可以推广到一般的情形： 即：n个正数的算术—几何平均不等式： 。 利 用练习强化对判断定理的认识。 学生思考，教师引导。 例题： 例１ 求函数　　　　　　　　 的最小值． 下面解法是否正确？为什么？ 解法１：由 知 ，则 当且仅当 解法2：由 知 ，则 引导学生利用平行判定定理来判断四边形的形状，及时掌握直线平行判断的运用。 （正解） 解法3：由 知 ，则 小结：以上是解题过程中最容易出现的几种错误，结合这些错误，在使用均值不等式求最值时必须强调三个条件： 正数条件——各项均大于零 定值条件——若求和式的最小值，其积必须为定值;若求积式的最大值，其和必须为定值 取等号条件——各项能否相等 引导学生观察课件进行探究性学习，总结出两直线垂直的判断 学生思考，教师引导。 变式训练： （ ） A、6　　B、　　　C、9　　　D、12　 引导学生观察、猜想，并证明，提高学生的探究能力 总结出：的前提条件为：“两直线斜率都存在”。 例2　如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 图： 通过例题了解知识的简单运用。 解：设切去的正方形边长为x，无盖方底盒子的容积为V，则 当且仅当　　　　　　　　　 即当　　 时，不等式取等号，此时Ｖ取最大值　 ．即当切去的小正方形边长是原来正方形边 长的 时，盒子的容积最大． 利用垂直判定定理来判断三角形的形状，及时掌握直线垂直判断的运用 练习： A、0　　B、1　　C、　　　D、　　 A、4　　　　　　B、　　 C、6　　　　　　D、非上述答案　 巩固本节课所学过的知识。 学生独立完成，教师检查反馈。 小结： 这节课我们讨论了利用平均值定理求某些函数的最值问题。现在，我们又多了一种求正变量在