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维修策略研究 维修的方式： 事后维修：指部件故障后，进行维修或更换。 预防性维修：指在故障发生前，进行检测、修理或更换。 维修性模型研究受到很多因素的影响，下图汇总了影响优化维修策略的相关因素： 维修策略 系统结构 关机规则 维修度 维修费用 年龄更换组件更换维修极限故障极限维修次数计数 单部件，串联，并联，n中取k，冗余 规则1 规则2 规则3 不完全 极小 极大 劣化worse 常数 随机变量 混合 优化准则 建模工具 策略时间长度 相依性 系统信息 最小费用率，最大可用性，故障率极限，最小故障时间，费用和可靠性 更新理论 Markov链 概率论 Poisson过程 无限 有限 离散 连续 费用 故障 结构 不完全 完全 优化维修策略 图表 1：维修策略和它的影响因素 1．年龄更换策略：当部件在到达指定的年龄仍然正常，则对部件作预防性更换；若部件在之前发生故障，则对部件进行事后更换。 假设：（1）部件的寿命的分布函数为； （2）和分别表示一次事后更换和预防更换的一切损失； （3）更换时间忽略不计。 问题：选择最优的使长期运行的单位时间的期望损失最小。 #————#——*————#————#-----*————#—— T=“————”。 问题的解： 令为经长期运行单位时间的期望损失， 即 ， 事实上，系统在更换时刻为系统的再生点，由更新理论知， 。 周期长，（为事件A的示性函数）故平均周期长为 平均周期长。 一个周期内的平均期望损失。因此， ， 问题转化为，求T使。 对求导, 得 , 令上式等于零,得 **********（#） 另一方面, 是连续严格单调递增函数。因为，对任意，有 （如果部件的故障率函数为连续严格单调递增，） 当时，则 ，（因为 此时方程（#）有唯一解。 当时，则 。因此，，对所有有限的，即得出，对所有有限的，因而得。 例子：部件的寿命服从分布。此时，，，且 由于连续严格单调递增。如果，有限存在的条件是 ，既当时，存在唯一的有限解，它满足 当时，则。 如果，有 ，用Maple软件解得 fsolve(3*(x-1+exp(-x))/(1+x)=2,x=0..20); 4.979364707 2. 更新过程(Renewal process) 设是独立同分布的非负随机变量序列，它们的分布函数为，均值为，且满足。令 显然，有 ，， 其中，, 为的重卷积。 令，是一个取非负整数值的随叫随到过程，我们称它为由随机变量序列所产生的更新过程，称为更新寿命，称为更新时刻（再生点）。表示时间内的更新次数。 因为事件和事件是等价的。因此，经常将部分和过程也成为更新过程。 由于，因而得， ，由此得 *******（） 我们称为更新函数(Renewal function)。 如果我们用来替换方程()中的得出， 以上方程成为更新方程。 令 （称为更新密度）。由更新方程得， 用变换解得此方程为， 再用反Laplace变换得出。 格点分布：一个非负随机变量的分布函数是格点分布，如果存在一个，使 。 满足上面条件的最大的称为格点分布的周期。 定理1. 。 定理 2. 如果不是格点分布，则 定理 3. 如果不是格点分布，且在非负非增，并，则 （注在上面三个定理中，当时，所有极限均为零） 定理 4. 设是第个更新寿命中的报酬，且独立同分布。令 是它在时间内的总报酬，我们有，如果有限，则 ，以概率为1。 3. 成批更换策略 它是指部件在给定的时刻作预防性更换，部件在故障时作事后更换。如下图所示： #——————#——*————#————*——#——————# 假设：（1）部件的寿命的分布函数为； （2）和分别表示一次事后更换和预防更换的一切损失； （3）更换时间忽略不计。 问题：选择最优的使长期运行的单位时间的期望损失最小。 我们有， ******（%） 其中，表示时间内部件事后更换的期望次数。令，得， ，令。如果连续严格单调递增，则连续严格单调递增。因为，对任意，有 其中，, 因此，连续严格单调递增。 由于， 当时，方程（%）有唯一解。 当时，对有限的，有，因此，。 例子：部件的寿命的分布函数为，用Maple得 F:=x-1-(1+x)*exp(-x);