立体几何之点线面之间位置关系.docVIP

第六讲 立体几何之点线面之间的位置关系 考试要求： 熟练掌握点、线、面的概念； 掌握点、线、面的位置关系，以及判定和证明过程； 掌握点、线、面垂直、平行的性质 知识网络： 知识要点： 1、公理 （1）公理 1：对直线 a 和平面α，若点 A、B∈a , A、B∈α，则 （2）公理 2：若两个平面α、β有一个公共点P，则α、β有且只有一条过点P的公共直线 a （3）公理 3： 不共线的三点可确定一个平面 推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面 （4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等． 2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面 3、异面直线所成角θ的范围是 00θ≤900 例1、已知直线、和两两相交，且三线不共点. 求证：直线、和在同一平面上. 例2、三个平面将空间分成k个部分,求k的可能取值. 分析: 可以根据三个平面的位置情况分类讨论，按条件可将三个平面位置情况分为5种: （1）三个平面相互平行 （2）两个平面相互平行且与第三个平面相交 （3）三个平面两两相交且交线重合 （4）三个平面两两相交且交线平行 （5）三个平面两两相交且交线共点 例3、已知棱长为a的正方体中，M、N分别为CD、AD中点。 求证：四边形是梯形。 例4、如图，是平面外的一点分别是的重心， 求证：． 例5、如图，已知不共面的直线相交于点，是直线上的两点，分别是上的一点求证：和是异面直线 例6、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则棱A1B1所在直线与面对角线BC1所在直线间的距离是 直线与平面平行、平面与平面平行 直线与平面的位置关系：平行、相交、在平面内 直线和平面平行的判定及性质 判定 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（简述为线线平行线面平行） 性质 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（简述为线面平行线线平行） 两个平面的位置关系：平行、相交 两个平面平行的判定与性质 判定 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 性质 如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、两个平行平面的距离 ??? 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线．公垂线夹在平行平面间的部分．叫做这两个平面的公垂线段．两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离 例1、如图，在三棱锥P-ABC中，点Ο、D分别是AC、PC的中点，求证： OD//平面PAB 例2、如图在四棱锥P-ABCD中，M、N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行四边形， 求证：MN//平面PAD 例3、如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1BD//平面CB1D1 例4、在正方形中，已知正方体的棱长为，M、N分别在其对角线AD1与DB上，若AM=BN=x。 ????（1）求证：MN//平面CDD1C1； （2）设MN=y，求y=f(x)的表达式； （3）求MN的最小值，并求此时x的值； （4）求AD1与BD所成的角。 直线与平面垂直、平面与平面垂直 1、线面垂直的定义 ???如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α垂直，记作l⊥α。 2、线面垂直的判定及性质 （1）判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面。 （2）性质 垂直于同一平面的两条直线平行。 3、线面角 ?????? 直线和平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。 ?????? 特别地，如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角， 4、二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，如图所示，即为一个二面角 α—l—β。二面角的取值范围是。 面面垂直的判定及性质 判定 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”。 性质 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 例1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D. 例2、 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB=5,AA1＝4，点D