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 离散时间信号与系统分析 5-1 下列系统中，表示激励，表示响应。试判断每个激励与响应的关系是否线性的，是否具有非移变性。 （1）（2） 解： （1）线性性 则 所以系统是线性的。 移变性 则 所以系统是移变系统。 （2）线性性 ， 则 所以系统是线性的。 移变性 设 则 所以系统是非移变的。 5-2求下列信号的卷积。 （1） （2） 解： （1）由卷积的性质可知 （2） 5-3 已知差分方程，激励，初始值，，试用零输入、零状态法求全响应。 解： ①求零输入响应。系统的特征方程为，故特征根为，，故零输入响应的通解。待定系数，必须根据系统的起始条件来求，而不能根据初始值，来求。又因为激励是在时刻作用于系统。故起始条件应为，。下面求，。 取代入原差分方程有 即 故得 取代入原差分方程有 即 故得 。 将所求得的，值代入通解中，有 联立求解，得，，故零输入响应为 ②差分方程的转移算子为 故单位取样响应为 ③零状态响应为 ④全响应为，即 5-4用经典法求解差分方程的全响应。 （1），，； （2），，。 解： （1） 初始条件： 由方程知 ， 即 ，。 齐次解为 将初始条件 代入，得 ， 即 ， 所以 ，。 （2）齐次解： 由方程可得，计算得，。 则齐次解为 特解为 因为是特征单根，所以。 可得 解此方程可得，得。 所以完全解为 将初始条件 代入，得 ， 即 ， 所以 ，。 5-5 利用变换性质求下列序列的变换。 （1）（2） （3）（4） （5） 解： （1） 方法一：设，则，。 因为，故根据域微分性，有 方法二：设，则。 因为，根据域尺度变换性，有 （2） 设，则根据移位性，有。 因为，故由线性性和域微分性，得 或，根据线性性，域微分性以及时域序列移位性，有 （3）设，则。 根据域积分性，有 （4）设，则。 因为，故根据时域部分求和性质，有 （5）设，。则 根据卷积定理，得 5-6 已知因果序列的变换，求序列的初值和终值。 （1） （2） 解： （1）根据初值定理，有，因为存在极点，不满足终值定理的条件，不存在。 （2）根据初值定理，有，因为的极点都在单位圆内，满足终值定理条件，所以。 5-7 已知，，求。 。 解： 因为，可知为右边序列。 幂级数展开法。采用长除法可以将展开成幂级数，即 故 5-8 用单边变换求解下列方程，并指出其中的零状态响应分量与零输入响应分量，稳态响应分量与瞬态响应分量。 （1），，； （2），。 解：利用变换解差分方程的步骤是： ①对差分方程取单边变换，并代入起始条件，将差分方程变换为一个域的代数方程，正确应用单边变换的位移性是这一步的关键； ②解域的代数方程得； ③求。 （1）对差分方程两边同时取单边变换，得 移项并整理，得 代入初始值并化简，得 则零状态响应为 ， 其中，为稳态响应，为瞬态响应。 （2） 由于，通过迭代可求得，即 令，得。 故 ， ， 由于存在极点，是个不稳定系统，故无稳态响应分量。