方程在微积分中应用.docVIP

第 31 卷 湖北师范学院学报( 自然科学版) Vol. 31 第 3 期 Journal of Hubei Normal University ( Natural Science) No. 3，2011 方 程 在 微 积分中的应 用 严 慧 ( 湖北师范学院  数学与统计学院，湖北  黄石 435002) 摘要: 讨论以代数方程、微分方程、函数方程、差分方程为工具，解决微积分中的各类常见问题的典型方法， 内容包括极限、定积分、重积分、变限积分、级数的展开与求和，辅助函数的构造等各方面的常见题型。着 重讨论代数方程、微分方程的应用。 关键词: 微积分; 方程; 极限; 积分 中图分类号: O172． 2 文献标识码: A 文章编号: 1009-2714( 2011) 03-0115-04 0 引言 众所周知，方程是我们解决各种数学问题与实际问题最重要，最基本的工具，在数学教学中，训练 学生灵活有效地掌握好这一工具，自然是我们数学教学中一个有意义的课题。方程体系庞大，理论深 遂，本文内容虽涉及各类方程: 普通代数方程、微分方程，函数方程、差分方程，但并不涉及方程的理 论。我们把所用到的数学知识以及难度限制在经济类高等数学知识范畴，例如高教版中国人民大学 朱来义主编的《微积分》( 第三版) 。我们将以各类实例介绍用建立方程的技巧解决微积分中的各种 问题，如极限、定积分、二重积分、变限积分、数项级数求和、幂级数求和函数、函数的幂级数展开、中值 问题中辅助函数的构造等。以使学生在尽可能广泛的知识领域中受到训练，使学生在各种形式不同 的问题中，有意识地自觉运用各类方程这一功能强大的数学工具。为增加可读性，我们大部分例子选 自硕士研究生入学考试试题，( 我们在例子中予以标注，例如标注为 99 年数学三，即指 1999 年全国硕 士研究生入学考试数学三试题) ，出于从版面上的考虑有些地方作了一些变动，在文中我们不再指明 了。在下面的例子中，我们重在对解题思路的分析上，并不在解题本身，因此在行文中我们只作分析， 而略去了解题过程。 由于该论题的广泛性，作为引导，在本文中我们着重讨论代数方程、微分方程的应用。而对于函 数方程、差分方程以及微分方程在更广泛更深入问题中的应用，我们将在续文中讨论。 1 实例与分析 在许多不太复杂的问题中，使用方程法有一个明显的信号，条件中常有一个含有未知函数  f(  x) 或与之相关的极限，积分、导数等的等式，这等式从本质上讲就是方程，但不是初等数学中的代数方程 而是函数方程。这类问题的基本思路是: 能否新设定一个量，对所给的等式两端同时取极限、求导或 积分，使原等式转化为一个简单的代数方程，从而解出有关的量。 收稿日期: 2011—02—21 作者简介: 严慧( 1983—  ) ，女，湖北黄梅人，硕士，助教 . ·115· 2 x→1 x→1 分析: 条件给出了关于 f( x)   的一个函数方程，这是可用方程法求解的典型，令  limf( x)   = A，则 f(  x)   = x→1 3x2  + 2xA，为使其转化为代数方程，再令 x→1，即得 A = 3 + 2A，解此代数方程得 A =  － 3. 例 2   ( 97 年数学三)   设 f( x) = 1 1 2 1 ∫ 1 f( x) dx  ，求    f( x) dx  ． 0 1 ∫ 1  +  x2 + 槡   －  x2 A， 两端同时积分即转化为代数方程 A  =  π π π 1 类似的问题: ( 89 年数学一)   设  f( x)   是连续函数且 f( x) =  x  + 2 f( x) dx，求  f( x) ． 0 例 2 中的解题思路当然也适合多元函数。 例 3   ( 99 年数学三)   设 f( x，y)   连续，且 f( x，y) =  xy  + =  1 所围成的区域，求  f( x，y) .  D 2 分析: 仍按例 1 的想法，令  A  = ∫∫f( u，v) dudv，则 f( x，y) D =  xy  +  A  ． 两端同时在  D 上积分，不难算得 ∫∫dxdy   = D 1  D 1 1 1 1 1 例 4 设 f( x)   可导，且满足方程 f( x) =  1  +  1 x x ∫  f( t) dt，  ＞  0 ( 2) 求 f( x)   ． 分析: 本例形式上似与例 2 相同，但实际上却有些实质性的变化。在例 1   ～  例 3 中，关于 f( x)   的定积 分、重积分都是一个数。因而可转化为一个简单的代数方程，而本例中关于  f( x)   的积分是变上限积 分，是一个函数，按前面的思路得到