正余弦定理附解斜三角形.docVIP

正余弦定理及解斜三角形 一．正弦定理： 在一个三角形中，各边和它的对边的正弦的比相等；且此比值为此三角形外接圆的直径。 即：（R为三角形ABC外接圆半径） 注：正弦定理变形：① 与外接圆关系 ② 边角转换 二．余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 注：余弦定理变形（夹角公式）： 三．解斜三角形： 1．解斜三角形的四种类型：①已知两角及一边；②已知两边及夹角；③已知三边；④已知两边及一边的对角. 前三类的解唯一，第四类需讨论，若A为锐角，当bsinA＜a＜b时有两解，当a≥b时有一解；若A为钝角，有一解. 2．解斜三角形中常用关系式： （1）三角形内角和定理 （2）正弦定理 （3）余弦定理 （4）边角转换 四．例题解析： 例1．在△ABC中，如果a＝18，b＝24，A＝，则此三角形解的情况为( ). A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 不确定 例2．在△ABC中，a＝，b＝，A＝，则c等于( ). A. 2 B. C. 2或 D. 以上都不对 例3．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角是( ). A. B. C. D. 例4．(1) 在△ABC中，若B＝，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是_____. (2) △ABC中，若AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是_____. 例5．在△ABC中，求证：a2sin2B+b2sin2A＝2absinC 例6．在△ABC中，如果lga-lgc＝lgsinB＝-lg，且B为锐角，判断此三角形的形状. 例7．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边. ① 若△ABC面积为，c＝2，A＝，求b，a的值. ② 若acosA＝bcosB，试判断△ABC的形状，证明你的结论. 例8．如图所示，已知在梯形ABCD中AB∥CD，CD＝2, AC＝，∠BAD＝，求梯形的高. 例9．如图所示, 在△ABC中，若c＝4, b＝7，BC边上的中线AD＝, 求边长a. 典型题训练： 1．在△ABC中，若a=2bsinA,则B为（ ） A． B． C．或 D．或 2．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和的（ ） A．90° B．120° C．135° D．150° 3．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，那么cosC的值为（ ） A．－ B． C．－ D． 4． △ABC中，∠A，∠B的对边分别为a,b，且∠A=60°，，那么满足条件 的△ABC（ ） A．有一个解 B．有两个解 C．无解 D．不能确定 5．已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2－1和2x+1(x＞1)，则最大角为（ ） A．150° B．120° C．60° D．75° 6．关于x的方程有一个根为1，则△ABC一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 7．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）  A．米 B．米 C．200米 D．200米 8．12．在中，已知三边、、满足，则＝ ( 　) A． B． C． D． 9．在△ABC中，若∠B=30°,AB=2,AC=2,则△ABC的面积为___ ___. 10．a、b、c为△ABC的三边，其面积S△ABC=12,bc=48,b－c=2,求a 正余弦定理及解斜三角形 一．正弦定理： 在一个三角形中，各边和它的对边的正弦的比相等；且此比值为此三角形外接圆的直径。即：（R为三角形ABC外接圆半径） 注：正弦定理变形：① 与外接圆关系 ② 边角转换 二．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 注：余弦定理变形（夹角公式）： 三．解斜三角形： 1．解斜三角形的四种类型：①已知两角及一边；②已知两边及夹角；③已知三边；④已知两边及一边的对角. 前三类的解唯一，第四类需讨论，若A为锐角，当bsinA＜a＜b时有两解，当a≥b时有一解；若A为钝角，有一解. 2．解斜三角形中常用关系式： （1）三角形内角和定理 （2）正弦定理 （3）余弦定理 （4）边角转换 四．例题解析： 例1．在△ABC中，如果a＝18，b＝24，A＝，则此三角形解的情况为( B ). A. 一解 B. 两解