抛物线典型例题.docVIP

典型例题 　　例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． 　　（1） ? （2） 　　分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程． 　　（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程． 　　解：（1） ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是： 　　（2）原抛物线方程为： ， 　　①当 时， ，抛物线开口向右， 　　∴焦点坐标是 ，准线方程是： ． 　　②当 时， ，抛物线开口向左， 　　∴焦点坐标是 ，准线方程是： ． 　　综合上述，当 时，抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程是： ． 　　例2 若直线 与抛物线 交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程． 　　分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k． 　　解法一：设 、 ，则由： 可得： ． 　　∵直线与抛物线相交， 且 ，则 ． 　　∵AB中点横坐标为： ， 　　解得： 或 （舍去）． 　　故所求直线方程为： ． 　　解法二：设 、 ，则有 ． 　　两式作差解： ，即 ． 　　 ， 　　 故 或 （舍去）． 　　则所求直线方程为： ． 　　例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 　　分析：可设抛物线方程为 ．如图所示，只须证明 ，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切． 　　证明：作 于 于 ．M为AB中点，作 于 ，则由抛物线的定义可知： 　　在直角梯形 中： 　　 　　 ，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切． 　　说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交． 　　例4（1）设抛物线 被直线 截得的弦长为 ，求k值． 　　（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标． 　　分析：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标． 　　解：（1）由 得： 　　设直线与抛物线交于 与 两点．则有： 　　 　　 ，即 　　（2） ，底边长为 ，∴三角形高 　　∵点P在x轴上，∴设P点坐标是 　　则点P到直线 的距离就等于h，即 　　 或 ，即所求P点坐标是（－1，0）或（5，0）． 　　例5 已知定直线l及定点A（A不在l上），n为过A且垂直于l的直线，设N为l上任一点，AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证P的轨迹为抛物线． 　　分析：要证P的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A为定点，l为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明 且 即可． 　　证明：如图所示，连结PA、PN、NB． 　　由已知条件可知：PB垂直平分NA，且B关于AN的对称点为P． 　　∴AN也垂直平分PB．则四边形PABN为菱形．即有 ． 　　 　　则P点符合抛物线上点的条件：到定点A的距离与到定直线的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线． ?