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群上的 Haar 测度 测度与算术 ⽟河数 应⽤: 质量公式 局部域情形 ⽟河测度的分解 其它应⽤ 线性代数群上的测度与算术概说 李⽂威 中国科学院数学与系统科学研究院 2013 年 11 ⽉ 13 ⽇ ⾸师⼤数论与代数⼏何讨论班 1 / 40 群上的 Haar 测度 测度与算术 ⽟河数 应⽤: 质量公式 局部域情形 ⽟河测度的分解 其它应⽤ 简史 以下考虑的群都是局部紧拓扑群, 带⾃⾝的左乘和右乘作⽤. 测 度指的都是 Radon 测度 (即: 与拓扑结构匹配). 定理 (Haar, Der Maassbegriff in der Kontinuierlichen Gruppen, 1933) 任意局部紧群 上都存在左不变测度, 彼此⾄多差⼀个正的常数 倍; 称这类测度为左 Haar 测度. 右不变的情形相同. 注记: 唯⼀性由von Neumann (1936) 和Weil (1940) 证明. 定义 存在同态 使得对每个左 Haar 测度 皆有 d d. 当 时称 是⺓模的. 此时左 右 Haar 测度⽆异. 2 / 40 群上的 Haar 测度 测度与算术 ⽟河数 应⽤: 质量公式 局部域情形 ⽟河测度的分解 其它应⽤ 1 Hurwitz, Über die Erzeugung der Invarianten durch Integration (1897) ⽤积分⽅法研究不变量理论, 开群上积分之先河. 2 Schur, Weyl, É. Cartan 以不变积分研究紧李群的表⽰理论 Peter–Weyl 定理等... 3 Weil, L’intégration dans les groupes topologiques et ses applications (1940) 系统地发展了局部紧群上的不变积分理 论. 影响遍及了 局部紧群的表⽰理论 (Harish-Chandra, Langlands, et al.) 数论, 参看Weil, Basic Number Theory (1966). 其中最要紧的情形是线性代数群上的 Haar 测度及相应的积分. 3 / 40 群上的 Haar 测度 测度与算术 ⽟河数 应⽤: 质量公式 局部域情形 ⽟河测度的分解 其它应⽤ 李群的情形 为 流形, 是 上的最⾼次外微分形式, 则 定 义了 上的⼀个密度. 由此导出⼀个Radon 测度 满⾜ ∫ ∫ 具体地看, 若在局部坐标卡 下 , 则 ∫ ∫ . 若 是李群, 则每个 ∧top 皆对应到⼀个左不变微分 形式, 相应的