一元二次方程根的判别及根与系数的关系易错点剖析.docVIP

根与系数关系应用例一元二次方程根与系数关系为：如果＝的两个根是那么，x1 · x2＝此结论成立的条件原方程存在两个根”. 一、例1 判断正误方程：＝两根之和为．( ) 错解：对错误因不知方程是否有根例2 若方程＋(m2 - l)＋l＋m＝0的两根互为相反数，则m的值为() (A)l 或一1 (B)l； (C)－l (D)0. 错解：选A． 正解：选C．因当m＝l时，原方程无实根例3下列方程中，两根之和为的方程是( ) (A)3＝0(B)3x2＋＋2＝0；(C)x2－ x＋3＝0 (D)6x2 -2x一1＝0 错解：选A或C． 正解：选D．因方程，均无实根例4已知关于的方程 ＋ (m＋l)2＝0的两个实数根的平方和为7，求m的值错解设方程两根为，，则＝2m＋l，·x2＝(m1)2．∵x12＋x22＝7，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝7，(2m＋l) －2(m＋l)27．即设方程两根为，，则＝2m＋l，·x2＝(m1)2．∵x12＋x22＝7，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝7，(2m＋l) －2(m＋l)27．即当＝2时，原方程0，m＝－2． 五、例5已知方程 ＋ 2(m -l)＋3＝0，问m为何实数时，方程有两个根且＋ 错解：由根与系数关系有I ＋2＝2(m－1) ，x1·x2＝3m11，∵＋＝－1，∴＝－1，∴＝－1，即 8m＋15＝0由根与系数关系有＋2＝2(m－1) ，x1·x2＝3m11，∵＋＝－1，∴＝－1，∴＝－1，即 8m＋15＝0因＝3或5时方程0，不存在使＋成立－12＋x＋3＝0∵方程有实数根，∴b2－4ac＝()2－4(k－1)×3≥0，解得k≤． ∵k－1≠0，解得k≠1∴k的取值范围是k≤且k≠1．b2－4ack－1≠0，k－10；二是忽视了隐含条件2k≥0． 七、不能正确使用根的判别式 例7 不解方程，判断方程根的情况：4x2－3x＋1＝∵a＝4，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝(－3)2－4×4×1＝9－16＝－7＜0． ∴原方程没有实数根． ax2＋bx＋c＝0a≠0)的形式． 正解：整理，得4x2－3x－1＝0∵a＝4，b＝－3，c＝－1，∴b2－4ac＝(－3)2－4×4×(－1)＝9＋16＝25＞0． ∴原方程有实数根．一元二次方程错解例1 方程2x2＋(2a－1)x＋＝0有实数根∵ 方程有实数根 ∴ △≥0(2a－1)2－42≥0， 解得≤． 错解分析：＝00，它只有一个实数根，不合题意． 正确的答案应为a≤且a≠0． 二、例2 已知a、b满足a2－2a－1＝0，2－＝0，＝ ． 错解：由题设可知a、b是方程x2－2－1＝0∴a＋b＝2，ab＝－1，∴＝＝＝＝－6．a≠b时，a、b是方程x2－2－1＝0a＝b时，＝1+1＝2． 故本题的正确答案应是－6或2． 三、例3 已知α、β是方程x2＋5x＋3＝0的值为 ． 错解：设A＝＝α2·＋2αβ＋β2·αβ，∴A＝2，∵αβ＝3，∴所求式的值为． α＋β＝－5，αβ＝3，由此可知α＜0，β＜0＜0． 四、例4 已知关于x的方程x2－(2m－1)x＋(m－3)2＝0m的值． 错解：设两根为x1、x2，则x1＋x2＝2m－1(m－3)2(x1＋x2)2－2 x1x2＝(2m－1)2－2(m－3)2＝2＋4m－21＝0m＝－7时，原方程为x2＋15x＋100＝0152－400＜0m＝－7应舍去，本题正确答案应为m＝3． 五、例5 已知x＝－1程x＝－1，解得k1＝2，k2＝－1． 当k＝2时，2k＝4，k＋1＝3，以4、3为根的方程是y2－7y＋12＝0k＝－12＋2y＝0成立，显然k＝－12－7y＋12＝02－(2m－1)xm2＋2m－4＝02m－1m2＋2m－4(x1＋x2)2－2 x1x2＝(2m－1)2－2(m2＋2m－4)＝m2－8m＋9＝2(m－)2＋1． ∴当m＝2时，x12＋x22的最小值是1． 错解分析： 解法中忽略了“方程有实数根”这一条件．当m＝2时，原方程为x2－3x＋4＝0m的取值范围． ∵原方程有两个实数根， ∴△＝(2m－1)2－(m2＋2m－4)2m＋17≥0， ∴m≤． ∴当m=时，x12＋x22的最小值是． 七、例7 已知x1、x2是方程2x2－2kx＋k(k＋4)＝0，求k的值． 错解： (x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k(k＋4)－k＋1＝k2＋1， 由已知条件得 2＋1＝，k2＝，k＝±． 错解分析： ∵x1、x2是方程的两个实数根，∴△≥0．即4k2－4 k(k＋4)≥0，化简得k≤0． 故正确的答案应是k＝－． 与根的判别式有关的常见错解 一、忽二次项系数不为零 例1 已知关于x的一元二次方程mx2－4x＋4