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中值定理与导数的应用 求解非线性方程的迭代法 一、迭代法原理 1. 迭代法的思想 2. 迭代法的收敛性 2. 迭代法的收敛性 3.迭代法的局部收敛性 4.收敛的阶 4.收敛的阶 二、弦截法  1. 弦截法的算法过程 2. 弦截法的迭代公式 3.弦截法的Matlab编程实现 三、牛顿法 1. 牛顿法的基本思想 2. 牛顿迭代公式 3. 牛顿法的收敛速度 4. 牛顿法的编程实现 四、小结 作 业 目录 上页 下页 返回 结束 求解非线性方程的迭代法 * 数学软件 一、迭代法原理 二、弦截法 三、牛顿法 四、小结 迭代法是数值计算中的一类典型方法，不仅用于方程求根，而且可用于方程组求解，矩阵求特征值等许多问题。 迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法。首先取一个粗糙的近似值，然后用同一个递推公式，反复校正这个初值，直到满足给定的精度为止。迭代法的关键在于构造递推公式。 构造 f (x) = 0 的一个等价方程： 从某个近似根 x0 出发，计算 得到一个迭代序列 k = 0, 1, 2, ... ... ? (x) 的不动点 f (x) = 0 x = ? (x) 等价变换 f (x) 的零点 当迭代序列收敛时，称迭代公式收敛或迭代收敛，否则称迭代发散。 这种求非线性方程根的方法称为迭代法。 迭代公式 迭代函数 关于迭代法的收敛性与迭代函数之间的关系，我们不加证明地给出如下几个定理。 定理1的两个条件有时较难验证也较难满足，这时常用的是局部收敛条件。 所谓局部收敛，指的是迭代公式在x*的某个邻域是收敛的。 关于局部收敛有如下的定理。 为了进一步研究收敛速度问题，引入阶的概念： 特别地,1阶收敛称为线性收敛， 2阶收敛称为平方收敛； 若p=1,c=0时，通常称为超线性收敛. 显然，p越大收敛越快。 定理3可以利用泰勒展开式加以证明 (1)过两点(a,f (a)),(b,f (b))作一直线,它与x轴有一个交点,记为x1; (2)如果f (a)f (x1)0,过两点(a,f (a)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点记为x2, 否则过两点(b,f (b)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点记为x2； (3)如此下去,直到|xn-xn-1|e , 就可认为xn为 f (x)=0在区间[a,b]上的一个根。 function root=chord_cut(f,a,b,e) %弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点 function [root,n]=chord_cut2(f,a,b,e) %弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点,n迭代次数 用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法， 对于非线性方程 f (x)=0 ,将 f (x) 在 xk 处作 Taylor 展开,去掉高阶项后得 如果f(xk)≠0,用xk+1代替x,由f(x)=0可得下列迭代公式 称上式为方程f(x)=0的牛顿迭代公式, 简称牛顿法。 牛顿法具有明显的几何意义， 是曲线在点(xk, f(xk))处的切线方程。 xk+1就是切线与x轴交点的横坐标， 所以牛顿法就是用切线与x轴交点的横坐标近似代替曲线与x轴交点的横坐标。 因此牛顿法也称切线法。 经计算得 因此,若x*是f(x)=0的单根,则牛顿法是至少2阶收敛的； 进一步分析还可以发现,当x*是f(x)=0的重根时,牛顿法只是1阶收敛的， 并且重数越高，收敛越慢。 牛顿法的迭代函数 function root=newton1(f,a,b,e) %牛顿法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点 function [root,n]=newton2(f,a,b,e) %牛顿法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点,n迭代次数 1.迭代法原理 2.弦截法 3.牛顿法 * *