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关于近年高考中函数应用题的探讨 内容摘要: 应用性问题是江苏省历年高考命题的主要题型之一， 也是考生失分较多的一种题型。江苏省高考中一般编制一道解答题，大概在第17题或是第18题。解答这类问题的关键是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，找到数量关系，建立恰当的数学模型 关键词: 数学建模 分式函数 分段函数 关系分析 正文: 所谓应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题。数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。要处理好函数应用题，要抓住几个关键点： 一、关键之一——学会数学建模分析的步骤 解应用题的一般思路：首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，经过去粗取精、抽象概况、利用数学知识建立相应的数学模型。再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去。在解决时要做到“读、建、解、答”四步。 读：阅读材料，理解题意，去粗存精，先粗读一遍，在关键的字、句和式子下画上横线，再精读，抓住关键点，弄清问题的变换过程，寻找数量关系； 建：在精读的基础上，找数量关系，采用会涉及到的知识点、原理，分析数量关系，建立数学模型，将文字语言转化成符号语言，用数学关系式（等式或者不等式）表达数学关系； 解：选用适当的数学知识、工具和方法对数学模型进行分析、求解，得到相应地数学结论； 答：再把数学结论返回到实际问题中去，符合客观地实际情况，要进行适当的验证 二、关键之二——掌握数学建模分析的具体方法 1、关系分析法:找关键词和关键量间数量关系的方法来建立问题的数学模型方法 【例1】（08江苏）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。 （1）按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式； ②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式； （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。 解：（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故 ，又OP＝10－10ta， 所以， 所求函数关系式为 ②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB= 所求函数关系式为 （Ⅱ）选择函数模型①， 令0 得sin ，因为，所以=， 当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边km处。 2、图像分析法:通过对图像中的数量关系进行分析来建立问题数学模型的方法 【例2】：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大． 解：（1）由图-可得市场售价与时间的函数关系为P= 由图二可得种植成本与时间的函数关系为Q= （t-150）2+100，0≤t≤300（2）设t时刻的纯收益为h，则由题意得h=P-Q，当0≤t≤200时，配方整理得h= （t-50）2+100所以，当t=50时，h（t）取得区间[0，200]上的最大值100当200＜t≤300时，配方整理得h= （t-350）2+100所以，当t=300时，h取得区间[200，300]上的最大值87.5综上，由100＞87.5可知，h在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． 3、图表分析法:通过对图表中给出数量关系进行分析处理来建立数学模型的方法 【例3】：某种商品进货单价为40元，按单价每个50元售出，能卖出50个.如果零售价在50元的基础上每上涨1元，其销售量就减少一个，问零售价上涨到多少元时，这批货物能取得最高利润. 零售价 50 51 52 53 …. 50+x 销售量 50 49 48 47 …. 50-x 分析：利润=（零售价—进货单价）销售量 故有：设利润为 y元，零售价上涨x元