二阶及高阶微分方程求解与应用.docVIP

二阶及高阶可降阶微分方程的求解与应用 ? 摘要 关键词：微分方程 可降阶 应用 前言：通过参考大量论文后可以很清楚地发现，高阶微分方程的求解没有统一的方法，并且几乎所有的论文在介绍高阶微分方程解题方法时均试图用二阶微分方程的求解来类推到高阶方程的求解中.归纳后根据二阶齐次线性微分方程解的结构总结出求此方程通解的一种方法，再解出非齐次线性微分方程的一个特解就可以得到非齐次微分方程的通解。 三类可降阶的二阶及高阶微分方程 可降阶方程作为一类具有特殊性质的二阶方程，具、有固定的解题模式，经过听取老师上课以及自己课后的整理，总结出三种可降阶类型。 1、形如： 的方程 个人觉得这种类型方程?，则?积分可得，也就得到了，同理可得 那么可以很容想到推导到n阶的通解形式为： 形如的方程 特点：不含有因变量。 猜想：将其化成的形式便可实现降阶。那么方法便很明显可以得出。 方法：令， 则 求出通解：， 即 再结合第一种类型，进行k次积分即可。 注意点：这里是我特别容易错的地方，就是在每次积分的后面，增加一个独立的任意常数。 形如的方程 按照本文的惯例，先从二阶方程入手，方程如下： 此类方程的特点也很明显，就是不含有自变量x。方法是利用代换使方程降到一阶。 这里对我而言有一个难点，就是在求时需用到一定的技巧。 代入方程可得： 这是一个关于未知函数p的一阶方程，运用变量可分离后可解得，则，又转化成为关于x与y的变量可分离方程，可以顺利求解。 同理可推广到高阶的情况。 三类可降阶的二阶及高阶微分方程的小结（个人总结） ----- 逐次积分 ----- ----- 注意点：需要特别注意第二条和第三条。这里虽然都用了的形式，实际上第二条是，第三条是，这里在刚开始听证明的时候混淆了。 三类可降阶的二阶及高阶微分方程的应用 我们之所以研究可降阶的二阶及高阶微分方程，是因为它在我们实际的生产生活中都发挥着巨大的作用，较为深刻地理解并掌握其解法可以为我们带来很多的便利。下面就通过几个案例的分析来证明其重要性。 例? 个人小结：只要熟练掌握第三类可降阶方程的解题过程便可轻松解决此题。 例?从船上向海中沉放某种探测器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下从平面由静止开始下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力作用，设仪器质量为m，体积为B海水比重为，仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式 结论 本篇论文对比较特殊的几种可降阶的高阶微分方程的特点进行详细的探究，总结它们的特点与解法：解决我们实际生活以及科学研究中的一些问题.在例题中我们可以看到二阶微分方程高阶微分方程在实际生活中的应用相当广泛，重点就是我们把实际生活中遇到的问题转化成常微分方程，并且通过解答常微分方程来解决实际问题. ??