第章定积分附其应用.docVIP

第五章 定积分及其应用 第一节 定积分的概念 一、问题提出 1、曲边梯形面积 (1)曲边梯形:由连续曲线 ,、轴与 两条直线、所围成. (2) 计算曲边梯形面积的思路：用矩形面积近似取代曲边梯形面积 . 显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积． 图形 with (student): rightbox(x^2, x=0..1,5,color=MAGENTA); leftbox(x^2, x=0..1,60,color=MAGENTA); (3) 计算曲边梯形面积 如图：在区间内任意插入若干个分点 ， 把区间分成个小区间长度为 ,在每个小区间上任取一点, 以为底,为高的小矩形面积为 , 曲边梯形面积的近似值为 , 当分割变细即小区间的最大长度时,有 . 2、变速直线运动的路程 (1) 路程问题:设某物体作直线运动,已知速度是时间间隔上的一个连续函数,且,求物体在这段时间内所经过的路程. (2) 计算思路：把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值. (3) 计算变速直线运动的路程 在区间内任意插入若干个分点 ， 把区间分成个小区间长度为,在每个小区间上任取一时刻,以为时的速度近似代替上的平均速度,得到相应路程的近似值,物体运动路程的近似值为 , 当分割变细即小区间的最大长度时,有 . 二、定积分定义 1、积分和 区间的分割： 将分成个小区间, :. 注: 可以有无穷多,而且不一定是等分的. (2) 分割的细度：. 显然: , (3) 区间中的介点：任取的, 用表示取定的一组介点. (4)在上关于及的部分和： 2、定积分的定义 设在上有界,为一常数. 若, ,恒有 则：(1)称在上可积,记作. (2)称为在上的定积分,记作,即 . 其中：① 称为被积函数； ② 称为被积表达式. ③ 称为积分变量, ④ 、称为积分上、下限； ⑤ 称为积分区间. 注：(1)积分变量也可以换成其他字母如、等等,即 . (2)规定 ① ；② , . 3、定积分的几何意义： 由曲线、直线、及围成的曲边形的面积. 4、定积分存在定理 (1) 定理：设在上有界,只有有限个间断点,则. (证明略,可参看华东师范大学《数学分析》) (2) 推论:① . ② . 例1 计算. 解：(1) 令,因此. (2) 取为的等分. 此时有 , , (3) 取于是 (4) . 其中：. 这是由于 , 有 从而 ,那么 . 第二节 定积分的性质 一、定积分的性质 假设以下各函数都是可积的，且.(1-4对也成立) 1、. 证明： . 2、, (为常数). 证明：. 3、. 证明：(1)先假设.设与是与的分割, 那么与联合起来构成了的分割. 于是 (2) 若,有 于是 . (3) 若,同(2)可证. 4、. 证明：. 5、若,则. 注：若在连续非负且不恒为零,则. 证明：因,而,于是, 所以 . 推论： (1) 若,则. 证明：因,于是 ， 所以 . (2) . 证明：因,于是 , 所以. 例2 比较积分值和的大小. 解： 因 ,, . 6、设与为在上的最大值与最小值,则 . 证明：因,所以 . 例3 估计积分的值. 解： 7、积分中值定理 (1)定理：设,则,. 证明：因,在上存在最大值与最小值, 于是 或 由连续函数介值定理知：, , 即 . 二、几何意义 在区间上至少存在一个点,使 得以区间为底边，以曲线 为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而 高为的一个矩形的面积。 三、函数的平均值 设,那么 称为函数在区间上的平均值. 例如, 速度为的物体在时间间隔上的平均速度为 . 第三节 微积分基本公式 一、路程与速度的关系 二、变上限积分 1、变上限积分函数: , 此处. 2、定理：设,则,且. 证明：,取. 由条件知, 所以 . 3、推论：设,则在上存在原函数. 三、微积分基本公式 1、定理：设, 为的原函数,则 此公式称为牛顿-莱布尼兹公式. 注：此式对也成立. 证明：因,那么是的原函数. 又因为的原函数, 故,. 所以 . 2、应用 例1 计算. 解：因,