第二节二重积分(直角坐标)计算副本.docVIP

第二节 二重积分的计算(直角坐标部分) 教学目的：了解二重积分计算公式导出的方法，理解公式中符号的意 义；熟练掌握型区域与型区域上积分公式，熟练掌握 极坐标系下的二重积分公式；熟练掌握极坐标与直角坐标 系下的二重积分的互化；并能根据条件选择合适的方法计 算积分. 重点：型区域与型区域上积分的计算；极坐标系下的二重积分 的计算；极坐标与直角坐标系下的二重积分的互化；根据条 件选择合适的方法计算积分. 难点：极坐标与直角坐标系下二重积分的互化；选择合适的方法计 算积分. 教学方法:直观教学，启发式讲授 教学过程： 一、利用直角坐标系计算二重积分 1．先对后对的二次积分 假定, 且 , 其中: ,则 . 结论：二重积分必须转化为二次累次积分进行计算. 注:事实上, 条件可以省去. 证明: 设是以为底、 为顶的曲顶柱体,体积仍用表示.则 . 过轴上点作平行于的平面 ,.截得一 以长为底,为 曲边的曲边梯形,其面积为 . 当 . 2．先对后对的二次积分 . 其中:, . 例1 计算, 由及围成. 解: 积分区域, 则 . 另解: . 例2 计算, 由及围成. 解: 如图, 其中 由及围成； 由及围成 . (1) ； (2) . (3) .(此方法不好，太复杂了) （另一种解法） 则 练习（08.3.4）. (积分区域为矩形) 例3 化二重积分为二次积分(写出两种积分次序). (1) 解　为矩形区域,所以 . (2)是由轴,及围成的区域. 解　 则 . 若将表示为, 则 . (3)是由轴,及围成的区域. 解　若 则. 若 则 . (4)是由轴,圆在 第一象限的部分及直线 围成的区域. 解　若 且及 ，则 . 若 则 . (5)是由轴与抛物线在第二象限的部分及圆 第一象限部分围成的区域. 解　若将表示为 及 则 . 若将表示为 则 . 3．型区域与型区域 (1) 型区域: 穿过内部且平行于轴的直线与边界相交不多于两个交点. 此时 . (2) 型区域: 穿过内部且平行于轴的直线与边界相交不多于两个交点. 此时 . (3) 对于任意区域,可将分成若干 个型与型区域后分别积分： . 例4 计算. 解: .（太复杂！） 另解: .（简单多了） 注意：选择计算顺序非常重要. 例5(87.5) 设积分区域是由曲线 与直线在第一象限内围成的封闭区 域,求.（是初等函数但其没 有初等原函数，即必须在型区域上进行积分） 解　积分区域可表示为 , . 例6(91.5) 计算二重积分. 其中是由轴,轴与曲线 所围成的区域;. 解　积分区域可表示为 , . 例7 (1)(01.6) 求二重积分的值,其中是由 直线,及围成的平面区域. 解　积分区域可表示为, 于是 .(注意一重积分的对称性) (2) 解 . 练习:选择合适顺序计算下列积分 1),其中是由 直线和轴围成的区域. 解:将分成 , ,又在上是的偶函数,且关于轴对称(与均关于轴对称) . 2) 解: 4．交换积分顺序 上述的积分使我们看到积分顺序很重要， 以下以实例说明如何交换积分顺序. 例8交换二次积分的次序: (1) 解　积分区域为, , 积分区域还可以表示为 , 于是 原式. (2) 解　积分区域为, , ， 积分区域还可以表示为 , 于是 原式. （3）(02.3) 交换积分次序: 　　　. 解　积分区域可表示为, 其中 , , 也可以表示为,故 . （4）(92.3) 交换积分次序: 　　　. 解　积分区域可表示为 , 故 . 例9 求证: 提示:交换积分次序. 解　二重积分中的积分区域为 , 区域还可以表示为 , 于是 即 . 例10(88.4) 求. 解　积分区域可表示为 , (初等函数的原函数不是初等函数) . 例11(1)计算,是由直线及抛物线围成的区域. 提示:此题若选用型区域上的积分则无法计算出这个二重积分. 解　取型区域，则区域可表示为 , . (2) 计算,是由直线及及轴围成的区域. （此题若选用型区域上的积分则无法计算出这个二重积分.） 解：选用型区域上的积分 (3) 计算 解： 例12(06.7) 计算二重积分,其中是由直 ,,所围成的平面区域. 分析：注意积分的顺序，使其计算简单 解　区域可表示为, 故 . 例13(1)（本题满分07.3.11分） 设二元函数 计算二重积分，其中 【分析】被积函数为分区域函数，利用积分的可加性分区域积分，在计算过程中注意利用区域的对称性和被积函数的奇偶性进行化简. 【详解1】由区域的对称性和被积函数的奇偶性有 其中为D在第一象限的部分. 设 , , . 因此 . 【详解2】记，则