矩阵数与矩阵函数.docVIP

第七讲 矩阵级数与矩阵函数 一、 矩阵序列 1. 定义: 设有矩阵序列, 其中, 且当时, 则称收敛, 并把叫做的极限, 或称收敛于, 记为 或 不收敛的级数则称为发散的,其中又分为有界和无界的情况. 2. 收敛矩阵序列的性质: 设,分别收敛于,则 (1) (2) (3) ，若存在 (4) 3 收敛矩阵: 设为方阵,且当时, 则称为收敛矩阵. [定理] 方阵为收敛矩阵的充要条件是的所有特征值的模值均小于1. 证明: 对任何方阵,均存在可逆矩阵, 使得 其中为的Jordan标准形 , 当 就等价于, 等价于, 而这只有才可能也必能. [得证] 二、 矩阵级数 1.定义: 矩阵序列的无穷和叫做矩阵级数, 而称为其部分和, 若矩阵序列收敛,且有极限, 则称该级数收敛,且有极限. 记为 不收敛的级数必为发散的. 若矩阵级数的所有元素均绝对收敛,则称该级数为绝对收敛. 2. 绝对收敛矩阵的性质 绝对收敛级数一定收敛,且任意调换它的项所得的级数仍收敛,并具有相同的和. (2) 绝对收敛,则也绝对收敛且等于 (3) , 均绝对收敛,且和分别为则 三、 方阵的幂级数 为方阵, 称为的幂级数. 称为的Neumann级数. 1. Neumann级数收敛的充要条件 [定理] Neumann级数收敛的充要条件是为收敛矩阵,且在收敛时其和为. 证明: [必要性] 级数收敛, 其元素为 显然也是收敛的. 作为数项级数, 其通项趋于零是级数收敛的必要条件. 故 ，即 也就是说为收敛矩阵. [充分性]: 为收敛矩阵, 则其特征值的模值均小于1. 设的特征值为, 的特征值为. 则由 可见 故, 的行列式不为零,存在. 而 右乘得 当时, , 故. 所以 即Neumann级数收敛于. 2. 收敛圆 [定理] 若矩阵的特征值全部落在幂级数的收敛圆内, 则矩阵幂级数是绝对收敛的. 反之, 若存在落在的收敛圆外的特征值, 则是发散的. 证明略. [推论] 若幂级数在整个复平面上收敛, 则对任何的方阵, 均收敛. 四、 矩阵函数 如: , , 以矩阵为自变量的“函数”(实际上是“函矩阵”) 我们知道, 均为整个复平面上收敛的级数, 故对任何的方阵 均绝对收敛. 三者分别称为矩阵指数函数、矩阵正弦函数、矩阵余弦函数。 [性质] 但是一般来说, , 三者互不相等. 例如 , , 则 可见 , , , 所以, , [定理] 若, 则 证明: 同理, 有 [推论] , ，总存在逆阵。 五、 矩阵函数的初步计算 1. Hamilton-Cayley定理 阶矩阵是其特征多项式的零点, 即令 则 [证明]: 设的特征值为, 则又可写成 由Schur引理知, 存在酉矩阵, 使得 而 即 2.零化多项式 多项式,若,则称其为的零化多项式。 由以上定理可知，方阵的特征多项式为的零化多项式。 3. 矩阵指数函数、正弦函数、余弦函数的计算 例: 已知四阶矩阵的特征值是、、 0、 0, 求、 、 解: 故 作业 P163 3, 4, 5 3