矩阵分块和分块矩阵定义.docVIP

引 言 为了研究行数、列数较高的矩阵，常常对矩阵采用分块的方法。类似于集合的划分，是把矩阵完全地分成一些互不相交的子矩阵，使得原矩阵的每一个元落到一个分快的子矩阵中。以这些子块为元素的矩阵就称为分块矩阵。线形代数以其独特的理论体系和解题技巧而引人入胜。在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.而且利用分快矩阵还可以求出某些矩阵的逆矩阵，证明矩阵的秩等。 第一章 矩阵的分块和分块矩阵的定义  设A是数域K上的矩阵，B是K上矩阵，将A的行分割r段，每段分别包含个行，又将A的列分割为s段，每段包含个列。 于是A可用小块矩阵表示如下：， 其中是矩阵。对B做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A的列的分割法一样。于是B可以表示为 其中是的矩阵。这种分割法称为矩阵的分块。 二．分块矩阵加法运算 设为同型矩阵（行和列数分别相等）。 若采用相同的分块法。  B= 则可以相加设，则C有如下分块形式： ， 其中是矩阵，且 定义 称数域K上的分块形式的n阶方阵为准对角矩阵，其中为阶方阵（），其余位置全是小块零矩阵。 2、分块矩阵的一些性质命题 阶准对角矩阵有如下性质： （1）、对于两个同类型的n阶准对角矩阵（其中同为阶方阵）， B=，； （2）、； （3）、A可逆可逆，且。  第二章 利用分块矩阵计算行列式 1　引理　　设矩阵 H=或H= 其中A1,A2,…,As是实矩阵，且均为方阵,则|H|=|A1||A2|…|As| 2　利用分块矩阵计算行列式设A、B分别为m与n阶方阵.计算行列式= 2·1　矩阵A或B可逆时行列式|H|的计算 命题1　设A、B分别为m与n阶方阵.证明: (1)当A可逆时,有= (2)当B可逆时,有= 证　(1)根据分块矩阵的乘法,有 由引理知,两边取行列式即得(1). (2)根据分块矩阵的乘法,有 两边取行列式即得(2). 注意:利用命题1解题时,要注意条件:矩阵A或B可逆. 推论1　设A,B,C,D分别是m,n,n×m和m×n矩阵.证明 (1) （3） (2) |A-DC|. (4) 证明　只需要在命题1的(1)中令A=Em,即得(3);在(2)中令B=En,即得(4). 推论2　C,D分别是n×m和m×n矩阵. 证明： （5） 证明：证明　在推论1的(3)中,令B=En,在(4)中,令A=Em,即得(5). 例1　计算下面2n阶行列式 ||= (a≠0) 解　令A=,B=，C=,D= 且都为n阶方阵.由于a≠0,故A为可逆方阵. 又易知　 从而由命题1中(1)得 ||= 例2　计算行列式 (1) ,(ai≠0,i=1,2,…,n); （2） 解　(1)设Q=，其中A=(), B=,　C= , D= 因为ai≠0,i=1,2,…,n,所以B是可逆矩阵. 又易知 从而由命题1中的(2)得 = .= (2)设其中B=(c),Ｃ=,Ｄ＝ 由于 CD== 从而由推论1知, Q= 2.2　矩阵A=B,C=D时行列式|H|的计算 命题2　设A,C是两个n阶方阵.则 　　 证　根据行列式的性质和引理,有 == 例3　计算行列式. D= 解　这道题看似简单,但如果方法选择不佳,做起来并不轻松.这里设 由命题2知 D=== = (X+Y+Z)(-X+Y-Z) (X+Y-Z)(-X+Y+Z) 2.3　当A与C或者B与C可交换时行列式|H|的计算 命题3　设A,B,C,D都是n阶方阵. (1)如果AC=CA,则== (2)如果BC=CB,则= 例4　计算例2所给的2n阶行列式. 解　设A,C如例2,则| = 而AC=CA,由命题3知: == 注意:①这里并不需要a≠0的条件. ②在利用命题3计算高阶行列式时,如果A和C(或B和C)有一个是n阶单位矩阵或者是n阶数量矩阵时,那么计算方法会更简便. 3　矩阵H被分成两个特殊矩阵的和时计算行列式|H| 命题4　设A为n阶可逆方阵,α与β均为n维列向量.则= 证　因为 (7) (8) 由引理,(7)和(8)两边各取行列式,并由于 故由(7)和(8)得== 即　= 注意:在利用这个命题计算n阶行列式时,需要根据具体情况,把原行列式的元素组成的矩阵分成两项,其中一项是n阶可逆矩阵A,该矩阵一般选为对角矩