北京中考数学几何、二次函数综合题难题压轴题解析汇总.docVIP

北京中考数学---几何、二次函数综合题压轴题解析汇总 本文主要解析内容摘自菁优网，并订正了部分错误。 25、（2007?北京）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形． （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O， 若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=∠A．请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形； （3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=∠A．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论． 考点：等腰梯形的性质。 专题：压轴题。 分析：（1）本题理解等对边四边形的图形的定义，平行四边形，等腰梯形就是． （2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四边形DBCE是等对边四边形； （3）作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．易证△BCF≌△CBG，进而证明△BDF≌△CEG，所以BD=CE．所以四边形DBCE是等边四边形． 解答：解：（1）回答正确的给（1分）（如：平行四边形、等腰梯形等）． （2）答：与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE）， ∵∠BOD=∠OBC+∠OCB=30°+30°=60°， ∴∠A=∠BOD， 四边形DBCE是等对边四边形； （3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE． 证法一：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点． 因为∠DCB=∠EBC=∠A，BC为公共边， 所以△BCF≌△CBG， 所以BF=CG， 因为∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A， 所以∠BDF=∠BEC， 可证△BDF≌△CEG， 所以BD=CE 所以四边形DBCE是等对边四边形． 证法二：如图，以C为顶点作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F点． 因为∠DCB=∠EBC=∠A，BC为公共边， 所以△BDC≌△CFB， 所以BD=CF，∠BDC=∠CFB， 所以∠ADC=∠CFE， 因为∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE，∠FEC=∠A+∠ABE， 所以∠ADC=∠FEC， 所以∠FEC=∠CFE， 所以CF=CE， 所以BD=CE， 所以四边形DBCE是等对边四边形． 说明：当AB=AC时，BD=CE仍成立．只有次证法，只给（1分）． 点评：解决本题的关键是理解等对边四边形的定义，把证明BD=CE的问题转化为证明三角形全等的问题25、（2008?北京）请阅读下列材料： 问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DE的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及的值． 小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值； （2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明； （3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含α的式子表示）． 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义。 专题：压轴题。 分析：（1）根据题意可知小聪的思路为，通过判定三角形DHP和PGF为全等三角形来得出证明三角形HCG为等腰三角形且P为底边中点的条件； （2）思路同上，延长GP交AD于点H，连接CH，CG，本题中除了如（1）中证明△GFP≌△HDP（得到P是HG中点）外还需证明△HDC≌△GBC（得出三角形CHG是等腰三角形）． （3）∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），那么∠PCG=90°﹣α，由（1）可知：PG：PC=tan（90°﹣α）． 解答：解： （1）∵CD∥GF，∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，DP=PF， ∴△DPH≌△FGP， ∴PH=PG，DH=GF， ∵CD=BC，GF=GB=DH， ∴CH=CG， ∴CP⊥HG，∠ABC=60°， ∴∠DCG=120°， ∴∠PCG=60°， ∴PG：PC=tan60°=， ∴线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC，=； （2）猜想：（1）中的结论没有发生变化． 证明：如图，延长GP交AD于点H，连接CH，CG． ∵P是线段DF的中点， ∴FP=DP， ∵AD∥FG， ∴∠GFP