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2017年全国高中数学联赛模拟题1 一试 考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分 一、填空题（共8题，每题8分，64分） 1、已知函数的值域为，则 2、已知并且，则的取值范围是 3、设在平面上，，所围成图形的面积为，则集合的交集所表示的图形面积为 4、的最小值为 5、已知复数，，且.则＝ 6、过椭圆C：上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为 7、设表示不超过的最大整数，则 8、设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=____________ 二、解答题（共3题，共56分） 9、（本题16分） 在△ABC中，A,B,C所对边分别为，且，P为△ABC的内切圆上的动点，求点P到A,B,C的距离的平方和的最大值和最小值 10、（本题20分）数列中，且满足（1）求数列的通项公式；（2）设，是否存在最大的正整数，使得对于任意的,均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 11、（本题20分）给定圆P:及抛物线S:,过圆心作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为,如果线段的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l的方程. 2017年全国高中数学联赛模拟题1 （二试） 9：40~12：10共150分钟 满分180分 平面几何、代数、数论、组合 1、（本题40分）联结圆内接等腰梯形的对角线相交于，已知图中各条线段均为正整数，且.(1)求证图中存在一个三角形，其三边长均为素数且组成一个等差数列. (2)若给点染上红色，圆面上的其它点任意染上红蓝色之一，求证圆面上存在一个同色等边三角形，其边长为素数. 2、（本题40分）已知实函数满足① ② 求的表达式. 3、（本题50分）求不定方程的正整数解的组数． 4、（本题50分）正五边形的每个顶点对应一个整数，使得这5个整数和为正。若其中三个相连顶点相应的整数依次为，而中间的，则要进行如下操作：整数分别换为，只要所得的5个整数中至少有一个负时，这种操作就继续进行，问：是否这样的操作进行有限次后必定终止。 2010年全国高中数学联赛模拟题1 一试 参考答案 一、填空题 1、0, 将代入得不等式 ∴又函数的值域为，函数值能取到1和3，即 有解，故得c＝2，b＝2 2、 （P596） 3、 在xOy平面上的图形关于x轴与y轴均对称，由此的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得，的图形在第一象限的面积为A＝。因此的图形面积为 4、定义域为,在上是减函数，在上是增函数，故 5、解 （1）依题设，有 . 根据复数相等的充要条件，知 由得. ③ 由得. ④ 得. 所以 . 6、,设P(x1, y1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3, y)。 又∵HQ=λPH，所以，所以由定比分点公式，可得：， 代入椭圆方程，得Q点轨迹为，所以离心率e= 7、解：设，则， ，符合条件的整数x有2个 ，符合条件的整数x有6个 ，符合条件的整数x有18个 ，符合条件的整数x有54个 ，符合条件的整数x有162个 ，结合，符合条件的整数x有258个 共＝2142 8、解：设，从而是平方数，设为 。（负值舍去） 二、解答题 9、易证A+B＝90°，，内切圆半径为2，用解析法建系，写出园方程，设P（x，y）则点P到A,B,C的距离的平方和S=88-4y，，最大值为88，最小值为72 （P44） 10、数列为等差数列，，，存在最大正整数＝7 （P450） 11、解:圆的方程为,则其直径长,圆心为,设l的方程为,即,代入抛物线方程得:,设 有,则 故 , 因此 据等差,, 所以即,, 则l方程为或. 2017年全国高中数学联赛模拟题1 （二试） 1、证明 (1)在中，由知，为最长边，且由余弦定理得 . 把取中的值验证，得只能取3，5.故存在，其三边长3，5，7均为素数且组成一个等差数列. (2) 不妨设，由 知，是边长为5的等边三角形，是边长为3的等边三角形.作边长为7的等边，等边，联结交于.再联结，由得，，四边形为平行四边形，，又，得是边长为3的等边三角形.同理，是边长为5的等边三角形. 当中有红点时，命题已成立. 当中无一为红点时，考虑，若为蓝点，则是同蓝色的等边三角形，其边长为素数3；若为红点，考虑点，若为红点