例谈专题式学习对学生数学思维能力的重要作用.docVIP

从一道中考题谈几何教学中的“基本图形” 上海师范大学附属外国语中学 苏有马 许多同学在学习数学时都有一种感觉：数学知识越学越多，有时反而不知道用什么方法去解决了；或者有时遇到一个问题百思不得其解，一经别人点拨就立刻豁然开朗、茅塞顿开，才知如此简单。特别是对于进入初三的同学，这种感觉更是明显。有许多同学一遇到综合性题目就会“手忙脚乱”，不知从何下手，但经老师分析后，他也能很快予以解决。笔者认为，造成这种结果有主客观两方面原因。 （一）客观方面　 数学题型多变，特别是几何图形千变万化，同一个知识点考核方法各不相同，好像捉摸不透；另一个客观原因是由于知识存储越来越多，有时无法很快做出选择，或犹豫不决、或几种方法纠缠不清，解题思路不清晰。 （二）主观方面　 许多同学缺乏对知识进行必要的归纳总结，遇一题、解一题，“就题论题”，不能找到各个问题间的内在联系。当然最为重要的一个原因在于“心中无题，没有自信”，缺乏敏锐的观察力。不能从复杂的图形中分解出自己所熟知的基本题型和基本图形，各个击破，逐一解决也是许多同学的困难所在。总之，如何真正实现由“数学知识”向“数学能力”转化，才是数学教学的关键所在。 如上海市2005年中考数学试卷最后一题： 在△ABC中，∠ABC=900，AB=4，BC=3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于F。 如图1，求证：△ADE∽△AEP； 设OA=x，AP=y, 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； 当BF=1时，求线段AP的长。 图1 备用图 此题题目较长，图形复杂，看似较难。但是如果我们将其分解成若干个基本题型或基本图形，逐一解决，就变得容易多了。而且大多数同学在平时的学习中对以下基本图形都已经相当熟悉了。 基本图形（1）：直角三角形（勾股定理），在Rt△ABC 中，∠ABC=90O，AB=4，BC=3，易得AC=5，即△ABC唯一 确定。 (1) 基本图形（2）：圆与切线（切线性质定理）半圆O与 AD相切于点D，若连结OD（也必定要连接OD），则一定有 OD⊥AD成立。 (2) 基本图形（3）：有一个公共角的两个相似三角形（相 似三角形判定），已知有一对角相等，由等边对等角和等式 性质，易得△ADE∽△AEP 。 (3) 基本图形（4）：相似三角形三边对应关系（相似三角形 性质定理），已知OA=x，需用x表示其它相关线段，显然， OD∥CB，同理，易证 第（2）问。当然也可以运用相似或锐角三角比 （4） 基本图形（5）：对顶直角三角形（有一对非直角的对顶 角的两个直角三角形一定相似），易得△BPF∽△EPD，所以 ，由第（1）问得，所以BP=2BF。 可求第（3）问。 (5) 基本图形（6）：“平角上剪去一个直角”，因为 ∠PED=900，∠CEA=180，所以∠1+∠2=90O，∠2=∠APE =∠BPF，BPF+∠F=900，由等角的余角相等得 ∠F=∠FEC，所以CF=CE，可求得AE，即求得x， 由函数解析式从而得出y值（即AP的长）。 (6) 怎样才能从这样复杂的图形中找出这些“有用的”基本图形，是一个说起来简单，但做起来还是比较难的问题。所以说如何帮助同学在平时的学习中掌握科学的学习方法，培养学生对一些基本题型和基本图形的敏锐观察力（也就是借给学生一双“数学慧眼”）就显得尤为重要。 笔者一直以来，在每学习一部分课本内容后都尝试以“专题讲座”的教学模式，引导学生自主探索，自我总结，自我提高。通过各个专题的学习，熟练掌握一些重要的基本图形和基本题型。学会从一个复杂的图形中找出它所包含的基本图形，并实现问题的合理转化和知识的正迁移。在研究过程中，学生能够掌握一些数学基本研究方法和数学思维模式。使学生感到“数学题目万变不离其宗”，自然会做到“脑中有题（图），心不慌”。 下面以《圆与直角梯形专题》为例，介绍一下如何开展基本图形教学。 基本图形的介绍 基本图形1：以直角梯形的一条垂直于底边的腰为直径作半圆且与另一腰相切 如图：已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠C=900，DC是 ⊙O的直