新的想法--叙事文体在数学教育中的应用.docVIP

推理敘事中的數學—作為數學與法治教育的例證 蘇惠玉 西松高中 一、前言 2009年的2月初，是剛開學忙碌的第一個禮拜，我參加了一個「數學普及書籍閱讀國際研討會」，也應邀發表了有關推理小說與數學教育的小小心得。在參與的過程中，一直覺得自己的專業性不夠，只能不斷給自己心理建設：「我是以數學教師以及讀者的身份發表我的心得而已，不用太過緊張。」不過也由於此研討會的需求，看了多夏狄斯(Apostolos Doxiadis)的論文 “The Mystery of the Black Knight’s Noetherian Ring”，才感覺似乎發現數學教育的另一片天地。在這篇論文中，多夏狄斯提出一個新想法：將敘事的形式應用在數學教育。他除了類比數學與敘事的相似性之外，更將波利亞在《如何解題》中所提出的解題策略，逐條地對比到刑事偵辦的手法上。 以下是筆者針對此篇文章的整理與心得想法，並分析幾本數學推理小說，以及與數學有關刑事偵辦影集，用以瞭解數學在推理小說、刑事偵辦中的角色與影響。筆者期望藉由這樣的分析，讓數學教師與學生們對數學與法治教育的關聯，有一點點新的啟發，並希望能夠刺激台灣的數學教師們，能夠有新的想法，新的創意，用來幫助學生的數學學習。 二、數學與敘事的相似性 所謂的敘事（narratives），指的是一種說故事的形式，可能是紙本（小說）、影片（電影）或是口語傳述。在多夏狄斯的那篇文章中，首先將數學證明的形式與內容，與敘事之間的相似性作一個比較： 數學證明 敘事 討論的對象、關係 人物、場景、關係 邏輯演繹 隨外在原因與人物意圖而進展 想像（瞭解結論為何被蘊涵） 演繹推理（認識想像的對象及推展故事的呈現） 達到目標（證明的結論） 達到目標（捉到犯人、打倒惡魔、得到真愛、自我成長） 學習過數學或數學證明的人都知道，數學證明一開始一定要先確定已知條件與結論（要證明物件）之間的關係，以及與這兩者有關的其他物件之間的種種邏輯關連。同樣地，在一個敘事中，亦必須先確定主角與各種人物之間的關係，時空背景、人物個性等等。因此，在數學證明與敘事之間，首先組成的材料與基本架構是一樣的。 再者，數學推理以邏輯演繹做為推展的手段；而敘事故事的推展，同樣必須根據作者設定的外在因素或人物性格、意圖而走。在推理的過程中，數學家（或數學實作者）必須時常從簡短的已知條件與推理過程中，想像結論的存在意義，而敘事的內容雖是作者的想像產品，卻也必須遵守一般所認定的邏輯推理。最後，數學推理證明一定要達成目標，通常是得到所設定的結論（證明完成）。同樣地，在敘事中也一定會有個結局（或結論），例如逮到犯人、打倒惡魔、得到真愛，或是自我成長領悟等等。 由此看來，數學活動中的主體—數學推理證明的結構與手法，都與敘事之間存在著一個可以類比的相似性。如果我們進一步分析在數學解題或推理的過程中，數學實作者所使用的解題策略，則與刑事偵辦或推理小說中常用的手法簡直如出一徹。 三、數學解題策略與偵查辦案方法 在波利亞(G. Polya, 1887 – 1985)的《如何解題（How To Solve It）》中，他將數學解題活動分成四個階段： 瞭解問題：瞭解問題裡存在的各個關係，例如已知數與未知數之間的關係。 擬定計畫：根據關係擬定解題計畫，大概知道需要有哪些計算、演算步驟或圖形。 執行計畫：必須有耐心地、按部就班地逐步檢查，弄清楚所有的細節，直到確定沒有任何不清楚的陰暗角落會產生錯誤為止。 驗算與回顧：藉由回顧整個求解過程，再次驗算答案與思考解答的過程，藉機加深對數學知識的理解，以及培養解題能力。 在第二階段「擬訂計畫」中，波利亞提到許多合理解決問題的方法。簡單摘要歸納他所提出通常會選擇的解題策略，包括： 猜測與檢驗（Guess and check） 尋找規律（Look for a pattern） 作圖表（Draw a picture） 先解決簡單的問題（Solve a simpler problem） 回溯（Work backward） 使用公式（Use a formula） 作出先後順序表（Make an orderly list） 消除可能性（Eliminate possibilities） 使用對稱（Use symmetry） 考慮特殊例（Consider special cases） 使用模型（Use a model） 運用直接推理（Use direct reasoning） 靈敏一點（Be ingenious）（註：我的理解是有時靈光一閃，忽然有了解題靈感） 解方程式（Solve an equation） 多夏狄斯將這幾個策略，與常在推理劇，或是現實世界中偵探（或警察）解決謀殺案件的手法作比較，發現在數學解題策略與偵查辦案時會使用的幾個手段之間，有非常驚人的相似性