数学分析单位时间内的血流量问题研究.docVIP

单位时间内的血流量问题研究 白城师范学院数学与应用数学 姓名： 2013年6月1日星期六 本文主要内容是数学分析知识定积分在医学上血流量测量上的应用、分析与探讨，列举了数学模型的应用条件，产生误差的原因、形成特点及计算，通过数据的方式进行分析。文章中所列举的物理学，生物学测量计算方法，对本文所提的数学建模方法，有实际性的监控作用，由于时间原因文中没有对数据进行实际性的应用和反馈；由于数学模型应用条件的存在，也没有带入实际数据进行计算。文章涉及范围较广，包含医学等数学方面的理论知识。文章最后证实数学模型对所求问题有效，误差存在合理，所应用测算方法真实有效。 正文 问题重述 本论文所研究的问题是单位时间内血流量的问题研究，其背景是在将血管堪称一个圆柱形管子，他的圆截面的半径为R（厘米），管中的血流平行于血管的中心轴。距离中心轴r处血的流速为V=。计算单位时间内血管中的血流量Q(立方米/秒)。 符号说明：我们所设小圆环的半径dr(cm)；单位时间内经过所有小圆环的血流总量Q（立方米/秒）； 模型假设：在本模型建立之前，一些不可避免的条件对模型会产生影响，例如血管温度、血压、血流阻力、血管弯曲程度、血管壁损伤等对血流速度的影响，导致模型对所求问题的结果产生误差。理想的数学模型需要在一定的环境下得以应用，例如血管的种类不同，包括毛细血管、静动脉血管、脑血管等。 问题分析：本论文所讨论的问题是利用数学模型求得血液在理想血管内的单位时间内的血流量，利用数学分析知识：定积分在几何、物理方面的应用对所提问题进行解答，建立定积分模型。必要对影响条件，血管环境、血管种类进行分析，利用科学测量法对单位时间内的血流量，再用所得到的结果加以比对，分析误差。 建立模型与求解验证 将血管看成是一个圆柱形管子，他的圆截面半径为R（cm），管中的血流平行于血管的中心轴。距离中心轴r处血的流速为V=。计算单位时间内血管中的血流量Q(立方米/秒)。 法一：将血管的圆截面分成许多圆环，每个圆环宽度dr，则小圆环面积的近似值为２πｒｄｒdQ=V(r)2πｒｄｒ 法二：单位时间内通过半径为R的血管中血流量实际上是曲线V沿血管的中心线旋转而成的旋转体体积。 令，则所以 在定积分定义及其应用教学中融入数学建模思想 对于理解与掌握定积分定义及其在几何、物理、医学和经济学等方面的应用，关键在于对“微元法”的讲解。而要掌握这个数学模型，就一定要理解“以不变代变”的思想。以单位时间内流过血管截面的血流量为例，我们来具体看看这个模型的建立与解决实际问题的整个思想与过程。 假设有一段长为l、半径为R的血管，一端血压为P1，另一端血压为P2(P1＞P2)。已知血管截面上距离血管中心为γ处的血液流速为 V(r)=P1－P2/4ηｌ(R２－r２) 式中η为血液粘滞系数，求在单位时间内流过该截面的血流量［3,4］（如图1（a）要解决这个问题，我们采用数学模型：微元法。 因为血液是有粘性的，当血液在血管内流动时，在血管壁处受到摩擦阻力，故血管中心流速比管壁附近流速大。为此，将血管截面分成许多圆环来讨论。 建立坐标系，取血管半径γ为积分变量，γ∈［0,R］于是有如下建模过程： ①分割：在其上取一个小区间［r,r+dr］，则对应一个小圆环。 ②以“不变代变”（近似）：由于dr很小，环面上各点的流速变化不大，可近似看作不变，所以可用半径为r处圆周上流速V(r)来近似代替。此圆环的面积也可以近似看作以圆环周长2πｒ为长，dr为宽的矩形面积2πｒｄｒ，则该圆环内的血流量可近似为：ΔＱ≈Ｖ（ｒ）２πｒｄｒ，则血流量微元为：dQ=V(r)2πｒｄｒ③求定积分：单位时间内流过该截面的血流量为定积分：Ｑ＝Ｒ０V(r)2πｒｄｒ血流阻力 - 血流阻力定义 血液在血管内流动时所遇到的阻力，称为血流阻力。血流阻力的产生，是由于血液流动时因摩擦而消耗能量，一般是表现为热能。这部分热能不可能再转换成血液的势能或动能，故血液在血管内流动时压力逐渐降低。在湍流的情况下，血液中各个质点不断变换流动的方向，故消耗的能量较层流时更多，血流阻力就较大。 如何得出 　　血流阻力一般不能直接测量，而需通过计算得出。血液在血管中的流动与电荷在导体中流动有相似之处。根据欧姆定律，电流强度与导体两端的电位差成正比，与导体的电阻成反比。这一关系也适用于血流，即血流量与血管两端的压力差成正比，与血流阻力R成反比，可用下式表示： 　　Q=(P1-P2)/R 　　在一个血管系统中，若测得血管两端的压力差和血流量，就可根据上式计算出血流阻力。如果比较上式和泊肃叶定律的方程式，则可写出计算血流阻力的方程式，即： 　　R=8ηL/πr4 这一算式表示，血流阻力与血管的长度和血液的粘滞度成正比，与血管半径的4次方成反比。由于血管的长度变化很小