★正定二次型和正定矩阵的概念.pptxVIP

正定二次型★正定二次型和正定矩阵的概念★判别二次型或矩阵正定的方法 正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念，并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。下页关闭正定二次型和正定矩阵的概念 二次型的标准形不是唯一的。 标准形中所含项数是确定的( 即是二次型的秩 )。 限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的。定理11 ( 惯性定理 ) 设有实二次型它的秩是 r ，有两个实的可逆变换正数的个数称为正惯性指数，负数的个数称为负惯性指数上页下页返回如果对于任何定义9 设有实二次型x ≠ 0 , 都有 f(x) 0,（显然 f(0) = 0 ），则称 f 为正定二次型，并称对称阵 A 是正定的。记作 A 0 ；如果对任何 x ≠ 0 , 都有 f(x) 0 , 则称 f 为负定二次型，并称对称阵 A 是负定的 ，记作 A 0 。定理12 实二次型为正定的充分必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正。证 设可逆变换上页下页返回先证充分性再证必要性：用反证法。假设有 ks ≤0 , 则( 单位坐标向量 ) 时，这及假设 f 正定矛盾， 推论 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正。上页下页返回 定理13 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正。即对称阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正。即这个定理称为霍尔维兹定理。上页下页返回 注意：对于二次型，除了有正定和负定以外，还有半正定和半负定及不定二次型等概念。上页下页返回判别矩阵正定的方法 根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A 的正定性有两种方法。 一是求出A 的所有特征值。若A 的特征值均为正数，则A 是正定的；若A 的特征值均为负数，则A 为负定的。 二是计算A 的各阶主子式。若A 的各阶主子式均大于零，则A 是正定的；若A 的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A 为负定的。上页下页返回正定性。例16判定对称矩阵解 方法一所以A 是正定的。上页下页返回方法二：A 的特征多项式为上页下页返回判别二次型正定的方法 由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判别法知，判断二次型的正定性也有两种方法。 一是利用对称矩阵A 的正定性。若二次型 f 的对称矩阵A 是正定的，则f 是正定二次型；若A 是负定的，则 f 也是负定二次型。 二是将 f 化为标准形。若其标准形的 n 个系数全为正，则 f 是正定的；若 f 的标准形的 n 个系数全为负，则 f 是负定的。 由于将 f 化为标准形非常复杂，因此第二种方法一般不用。上页下页返回例17判别二次型的正定性。解　f 的矩阵是A 的各阶主子式为：所以 f 是负定的。上页下页返回例18设二次型解f 的矩阵是A 的各阶主子式为：上页下页返回Ex.11判别二次型的正定性。解　f 的矩阵是A 的各阶主子式为：所以 f 既不是正定的，也不是负定的，即不定二次型。上页下页返回例19 设C 是满秩矩阵，实对称矩阵A 是正定的，则C TAC是正定的。证因为A 为正定，所以对任意即C TAC是正定的。上页下页返回Ex.12 证明：若实对称矩阵A = ( aij ) 为正定矩阵，则 aii 0 ( i =1, 2, …, n ).证因为A 为正定，所以对任意上页返回第五章小结 本章通过向量的内积，从而给n维向量建立了度量的概念，结合方阵的特征值理论，给出了判定矩阵是否可以对角化的判定方法；通过对实对称矩阵所具有的特点，说明实对称矩阵不仅可以相似对角化，而且可以正交对角化；从而为二次型化标准型提供了一种重要方法：正交变换法。由二次型及实对称矩阵的一一对应关系，将二次型的讨论转化为矩阵的讨论，并讨论了正定二次型。返回上页下页第五章主要方法一) 方阵的特征值及特征向量的求法上页下页返回二 ) 用正交方阵将方阵化为对角阵的方法 (1).求A 的特征值； (2).求A 的特征值对应的n 个线性无关的特征向量； (3). 将重特征值所对应的特征向量正交化，连同单特征值所对应的特征向量一起就得到两两正交的特征向量； (4). 将 (3) 中 n 个特征向量单位化，得到 n 个两两正交的单位特征向量； (5). 以这些特征向量作为列向量的矩阵就是所求的正交矩阵，且有上页下页返回三) 化二次型为标准型的方法 (1).正交变换法 1 .写出二次型对应的矩阵A . 2 .将A化为对角阵，求出正交阵P . 3 .写出标准型，且正交变换为X=PY . (2).配方法 1.含有平方项，直接配方； 2.不含有平方项,化成含有平方项,再配方;上页下页返回四 判定矩阵及二次型为正定的方法1.定义法：2. 用霍尔维兹定理： A 的各阶主子