6.从不等式sinx＜x＜tanx到函数f(x)=sinx／x.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 从不等式sinx＜x＜tanx到函数f(x)= 一类三角函数试题的母题 当0x时,sinxxtanx,这是一个重要不等式,它是三角函数微积分的基础,由该不等式到函数f(x)=的性质是高考命题的一道亮丽的风景线. [母题结构]:己知函数f(x)=,则:(Ⅰ)①f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值 域为(cosx0,1),其中,x0∈(π,),且tanx0=x0;②f(x)是偶函数)(k∈N+),且tanx0=x0,f(x)的极大值=cosx0;f(x) 的极小值点x0满足:x0∈((2k-1)π,(2k-1)π+),且tanx0=x0,f(x)的极小值=cosx0;④f(x)的图像在y=与y=-之间; (Ⅱ)当x∈(0,)时,①f(x)单调递减,值域为(,1);②(Jordan不等式)xsinxx;③tanx+sinx2x;④ f(x)(其中,-1≤a≤2,b≥-). [母题解析]:(Ⅰ)由f(x)=(x≠0)(x)=;令(x0)=0tanx0=x0f(x0)=cosx0;由y=tanx与y=x的图像知,当x0∈(2kπ,2kπ+)时,f(x0)是f(x)的极大值;当x0∈((2k-1)π,(2k-1)π+)时,f(x0)是f(x)的极小值;由|f(x)|=||≤f(x)的图像在y=与y=-之间; (Ⅱ)当x∈(0,)时,f(x)单调递减f(x)的值域为(,1)1xsinxx;设g(x)=sinx+asinxcosx-(a+ 1)xcosx,则(x)=[1-(a-1)cosx](1-cosx)+(a+1)(x-sinx)sinx0g(x)g(0)=0f(x),令a=1得:tanx+ sinx2x;设h(x)=sinx+bsinxcosx-(b+1)x(x)=[2bcosx+(2b+1)](cosx-1)0g(x)g(0)=0f(x). 1.关注于f(x)产生的不等式 子题类型Ⅰ:(2013年辽宁高考试题)(Ⅰ)证明:当x∈[0,1]时x≤sinx≤x; (Ⅱ)若不等式ax+x2++2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]恒成立,求实数a的取值范围. [解析]:(Ⅰ)当时x≤sinx≤x成立;当时f()f(1)≤f(x)1x sinxx; (Ⅱ)当x∈[0,1]时+2(x+2)cosx-4=(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2≤(a+2)x+x2+-4(x+2)(x)2=(a+2)x,所以当a≤2时+2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]恒成立;下面证明当a2时+2(x+2) cosx≤4对x[0,1]不恒成立因为当x[0,1]时+2(x+2)cosx-4=(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2≥(a+2)x+x2+ -4(x+2)()2=(a+2)x-x2-≥(a+2)x-x2=-x[x-(a+2)]存在x0(0,1)(例如x0取和中的较小值)满足+2(x0+2)cosx0-40即当a2时不等式+2(x+2)cosx≤4对x[0,1]不恒成立综上实数a的取值范围是(∞,-2]. [点评]:由f(x)的图像以及不等式:f(x)(其中,-1≤a≤2,b≥-)可产生许多不等式,这些不等式将是高考命题的出发点. 2.着意于f(x)的值域 子题类型Ⅱ:(2014年北京高考试题)已知函数f(x)=xcosx-sinx,x∈[0,]. (Ⅰ)求证:f(x)≤0; (Ⅱ)若ab在(0,)上恒成立,求a的最大值与b的最小值. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=xcosx-sinx(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx0f(x)在[0,]内单调递减f(x)≤f(0)=0; (Ⅱ)当x∈(0,)时,f(x)的值域为(,1)a的最大值=,b的最小值=1. [点评]:本题的第(Ⅱ)问的本质是求f(x)=的值域:由f(x)在(0,)上递减f(x)f()=;由ainxxf(x) 1f(x)的值域为(,1). 3.探究f(x)的极值点 子题类型Ⅲ:(2005年天津高考试题)设函数f(x)=xsinx(x∈R). (Ⅰ)证明:f(x+2kπ)-f(x)=2kπsinx,其中k为整数; (Ⅱ)设x0为f(x)的一个极值点,证明:[f(x0)]2=; (Ⅲ)设f(x)在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列a1,a2,…,an,…,证明:an+1-anπ(n=1,2,…). [解析]:(Ⅰ)由f(x)=xsinxf(x+2kπ)-f(x)=(x+2kπ)sin(x+2kπ)-xsinx=(x+2kπ)sinx-xsinx=2kπsinx; (Ⅱ)由(x)=sinx+xcosx=0(x0)=0tanx0=-x0[f(x0)]2=x02sin2