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第六讲:完全平方数 51 第六讲:完全平方数 一个整数的平方数称为完全平方数.完全平方数问题是数论研究的一个课题,经常出现在各级数学竞赛中,解决完全平方数相关问题首先要理解掌握如下性质: 离散性质:①形如3k+2、4k+2、4k+3(k∈Z)的数不是完全平方数;②相邻的两个完全平方数之间没有完全平方数,即形如n2+k(1≤k≤2n)的数不是完全平方数;③若mn,则m2-n2≥2n+1; 数字特性:①完全平方数的未位数字只能是0,1,4,5,6,或9;②完全平方数的十位数字为奇数,当且仅当其个位数字为6;③若完全平方数的个位数字为5,则其十位数字为2,百位数字是偶数; 余数性质:①n2≡0,1(mod3,4);②n2≡0,1,4(mod5,8);③n2≡0,1,4,7(mod9); 因数性质:①设p为质数,n是完全平方数,若p|n,则p2|n;②若(a,b)=1,且ab为完全平方数,则a与b均为完全平方数;③若ab2为完全平方数,则a为完全平方数; 充要条件:①n是完全平方数的充要条件是n的所有正约数的个数为奇数;②若(a,b)=1,则a2+b2是完全平方数的充要条件是存在正整数m、n,使得(m,n)=1,a=2mn,b=m2-n2;③素数p2,当且仅当p≡1(mod4)时,能写成两个完全平方数的和. 1.离散性质: [例1]:(2008年中国国家集训队培训题)一个由正整数组成的无穷等差数列(非常数的)包含了一个项为完全立方数.求证:这个数列也包含一项,它是完全立方但不是完全平方. [解析]:设该无穷等差数列为a1a2…an…,公差为d,不妨设a1为完全立方数a3(如果ak为完全立方数,则从ak开始的数列akak+1…an…满足条件),则an=a3+(n-1)d,令a3+(n-1)d=(a+md)3a3+(n-1)d=a3+3a2md+3am2d2+m3d3n=3a2m+3am2d +m3d2+1(m=0,1,2,…),即对任意的非负整数m,(a+md)3都是数列{an}中的项;再令m=a2d,则(a+md)3=(a+a2d2)3;由a+a2d2 (ad)2;且a+a2d2(1+ad)2(ad)2(a+a2d2)(1+ad)2a+a2d2不是完全平方数(a+a2d2)3也不是完全平方数,即该项满足条件. [练习1]: 1.(2006年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设an=n2+n+2(n=1,2,…).则在数列{an}中( ) (A)有无穷多个质数 (B)有且只有有限多个质数 (C)有无穷多个平方数 (D)有且只有有限多个平方数 2.①(2010年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设p=x4+6x3+11x2+3x+31,求使p为完全平方数的整数x的值. ②(2010年全国高中数学联赛江苏预赛试题)求所有正整数x,y,使得x2+3y与y2+3x都是完全平方数. ③(2004年斯洛文尼亚国家集训队培训题)求所有正整数n,使得n×2n-1+1是完全平方数. 3.①(1996年上海市高中数学竞赛试题)设k1k2k3…是正整数,且没有两个是相邻的,又sm=k1+k2+k3+…+km(m是正整数).求证:对于每个正整数n,区间[sn,sn+1)中至少含有一个完全平方数. ②(2011年上海市高中数学竞赛试题)对整数k,定义集合Sk={n|50k≤n≤50(k+1),n∈Z},问S0,S1,S2,…,S599这600个集合中,有多少个集合不含完全平方数？ 2.数字特性: [例2]:(2005年克罗地亚数学奥林匹克试题)设P为整系数多项式,且满足P(5)=2005.试问:P(2005)能否为完全平方数. [解析]:设P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(ai∈Z,i=0,1,…,n),则P(2005)-P(5)=an(2005n-5n)+an-1(2005n-1-5n-1)+…+an(2005- 5);由2000=(2005-5)|(2005k-5k)(k=1,2,…,n)2000|[P(2005)-P(5)]P(2005)-P(5)=2000M(M∈Z)P(2005)= 2000M+P(5)=2000M+2005的后两位数是05;而完全平方数的后两位数不可能是05P(2005)不可能为完全平方数. [练习2]: 1.①(2007年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)方程1!+2!+…+x!=y2的所有正整数解(x,y)为 . ②(1994年上海市高中数学竞赛试题)两个两位数,他们的差是52