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高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(17-19):理论应用 1 理论应用 [母题]Ⅰ(17-19):(2011年重庆高考试题)设m,k为整数,方程mx2-kx+2=0在区间(0,1)内有两个不同的根,则m+k的最小值为( ) y (A)-8 (B)8 (C)12 (D)13 [解析]:令f(x)=mx2-kx+2=0,因为f(0)=20,所以,方程在 A(2,4) 区间(0,1)内有两个不同的根m0,k2-8m0,01,f(1) 0m0,k2-8m0,0k2m,m-k+20,根据不等式组可画出可 O x 行域如图,因为m,k为整数,由图知m2m≥3;①当m=3时,则k224,k5矛盾;②当m=4时,则k232,k6矛盾;③当m=5时,则k240,k7矛盾;④当m=6时,则k248,k8k=7m+k的最小值为13.故选(D). [点评]:线性规划的应用将是高考中的创新型问题.已出现的问题有:根的分布、极点分布、三角函数和等差数列. [子题](1):(1994年全国高中数学联赛上海初赛试题)设a,b是实数,二次方程x2-ax+b=0的一根属于区间[-1,1],另一根属于区间[1,2],则a-2b的取值范围为 . [解析]:设f(x)=x2-ax+b,则方程的一根属于区间[-1,1],另一根属于区间[1,2]f(-1)≥0,f(1)≤0,f(2)≥0a+b+1≥0,a-b-1≥0,2a-b-4≤0,根据不等式组可得可行域a-2b∈[-1,5]. 注:本题是典型的二次方程根的分布问题,解决问题的一般程序是首先转化为二次函数,由此得约束条件,转化为线性规划问题解决. [子题](2):(2007年全国Ⅱ高考试题)己知函数f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值且0x1x22. y (Ⅰ)证明:a0; (Ⅱ)若z=a+2b,求z的取值范围. B(2,2) A(4,2) [解析]:因(x)=ax2-2bx+2-b,所以f(x)在(0,1)、(1,2)内 C(,) 各有一个极大值、极小值点函数(x)=ax2-2bx+2-b的 O x 开口向上,且在(0,1)、(1,2)内各有一个零点(0)0,(1)0,(2)0b2,a-3b+20,4a-5b+20.则该约束条件所在的平面区域是△ABC(不含边界).其中,点A(4,2),B(2,2),C(,).由图知:(Ⅰ)aa0;(Ⅱ)z∈(,8). 注:本题是极点分布问题,解决问题的根本方法是转化为导函数的零点分布问题. [子题](3):(2013年全国高中数学联赛陕西预赛试题)设点P、Q分别在直线3x-y+5=0和3x-y-13=0上运动,线段PQ的中点为M(x0y0),且x0+y0≥4.则的取值范围是 . [解析]:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,且3x1-y1+5=0,3x2-y2-13=0, 两式相加得:3(x1+x2)-(y1+y2)-8=03x0-y0-4=0点M在直线3x-y-4=0上,又点 M在直线x+y=4的上方;由直线3x-y-4=0与x+y=4交于点A(2,2)kOA≤kOM3 的取值范围是[1,3). 2 [母题]Ⅰ(17-19):理论应用