19.直线与平面所成角的求解方法.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明 直线与平面所成角的求解方法 最小角定理和直线与平面所成的角 直线与平面所成角的定义:“平面的斜线和它在平面内的射影所夹的角,叫做斜线与平面 所成的角”,建立于最小角定理:“斜线和它在平面内的射影所成的角(即线面角),是斜线和这 个平面内的所有直线所成角中最小的角”之上;求直线与平面所的成角是高考的热点. [母题结构]:求直线与平面所成角的方法. [解题程序]:求直线与平面所成角的方法:一作,过直线l上一点P作平面α的垂线PH,H为垂足,则直线l与平面α所成角为∠POH,其中,O为斜足;二求,求OP,PH;三解,利用公式sin∠POH=求解. 1.基本解法 子题类型Ⅰ:(2004年全国Ⅱ高考试题)正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底 面所成的角为( ) (A)750 (B)600 (C)450 (D)300 [解析]:由正四棱锥V-ABCD的顶点V在底面上的射影O是底面正方形ABCD的中心,VA=1,AO=∠VAO=450.故选(C). [点评]:求正棱锥的侧棱与底面所成的角既是求直线与平面所成角的典型,也是高考的热点;利用:“正棱锥的顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心”是解决该类问题的关键. 2.垂足位置 子题类型Ⅱ:(2013年大纲高考试题)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则与平面所成角的正弦值 (B) (C) (D) [解析]:由CB,CD,CC1两两互相垂直点C在平面BDC1上的射影H是△BDC1的垂心,设AB=2,BD 的中点为O,则H在OC1上;由OC=,CC1=4CH=sin∠CDH=.故选(A). [点评]:求直线与平面所成角的关键是寻找直线上的一点在平面内的射影点的位置,常利用:①若两平面垂直,则其中一平面内一点在另一平面内的射影在两平面的交线上;②三棱锥的顶点在底面上射影的几个性质. 3.特例问题 子题类型Ⅲ:(2005年全国Ⅱ高考试题)△ABC的顶点B在平面α内,A、C在α的同一侧, AB、BC与α所成的角分别是300和450.若AB=3,BC=4,AC=5,则AC与α所成的角为( ) (A)600 (B)450 (C)300 (D)150 [解析]:设A,C在平面,CE=4,作AH⊥CE于H,则AH=CE-AD=sin∠CAH=∠CAH =300.故选(C). [点评]:若点A、B在平面α的同一侧,求AB与α所成的角,作AD⊥平面α于D,BC⊥平面α于,当ADBC时,过A作AH⊥BC于H,则∠BAH是AB与α所成的角. 4.子题系列: 1.(2007年全国Ⅱ高考试题)已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,则侧棱与底面所成角的余弦值等于( ) (A) (B) (C) (D) 2.(2010年全国高中数学联赛四川初赛试题)设正三棱锥S-ABC的底面边长为3,侧棱长为2,则侧棱SA与底面ABC所成的角的大小是 . 3.(2004年上海春招试题)在底面边长为2的正三棱锥V-ABC中,E是BC的中点,若△VAE的面积是,则侧棱VA与底面所成角的正切值为 . 4.(1999年第10届“希望杯”全国数学邀请赛试题)空间四边形ABCD中,AB=AD=3,BC=CD=2,AC=,则AC与平面BCD所成的角等于 . 5.(2005年江西高考试题)在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=BC,且∠BAC=,则PA与底面ABC所成角为 . 6.(2010年全国Ⅱ高考试题)已知三棱锥S-ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成的角的正弦值为( ) (A) (B) (C) (D) 7.(2007年全国Ⅱ高考试题)已知正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于( ) (A) (B) (C) (D) 8.(2013年山东高考试题)已知三棱