1.米勒问题在高考中的精彩演译.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 米勒问题在高考中的精彩演译 一类最大张角问题的母题 1471年,德国数学家米勒提出:在地球表面的什么部位,一根垂直的悬杆呈现最长？由此,以米勒命名的“米勒问题”成为世界数学名题;在我国,高考命题者对米勒问题“情有独钟”,进行了精彩演译;一般的米勒问题如下: [母题结构]:己知定直线l1与l2相交于点O,M、N是直线l2上的两定点(在点O的同一侧), P是直线l1上的一点,则当且仅当OP=时,∠MPN取得最大值. [解题程序]:设过点M、N的圆与直线l1切于点P,此时OP2=OMON,即OP=;对于 直线l1上的任意的一点Q总在圆外,由圆外角定理:∠MPN≥∠MQN当且仅当OP= 时,∠MPN取得最大值. 1.直接引用 子题类型Ⅰ:(1986年全国高考试题)如图,在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标 原点除外)上给定两点A、B,试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值. [分析]:这是一道最早的“米勒问题”的高考题,若用米勒定理求解则可一步到位,轻而易举 地拿下此题. [解析]:设A(0,a),B(0,b),则|OA|=a,|OB|=b,过A、B两点作圆M,使得圆M与x轴的正半轴|OC|=点C(,0);在x轴的正半轴,则点总在圆M外,由圆外角定理:∠ACB∠AB.综上,点C(,0). [点评]:对米勒问题中的两定点M、N和所求点所在的定直线l,可以取其特殊位置直接命题,尤其是在直角坐标平面内直接设计米勒问题. 2.三角包装 子题类型Ⅱ:(2008年全国Ⅰ高考试题)设ΔABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB-bcosA=c (Ⅰ)求tanAcotB的值; (Ⅱ)求tan(A-B)的最大值. [分析]:由射影定理或利用正、余弦定理易解第(Ⅰ)问;第(Ⅱ)问:可以通过构造出角A-B,转化求角A-B的最大值,从而利用米勒问题解法求解. [解析]:(Ⅰ)设ΔABC的外接圆半径为r,由acosB+bcosA=2rsinAcosB+2rsinBcosA=2rsin(A+B)=2rsinC=c与acosB- bcosA=c联立得:acosB=c,bcosA=c=4=4tanAcotB=4; (Ⅱ)作CH⊥AB于H,则AH=bcosA=c,BH=acosB=c;在BH上取点D,使得DH=AH,则BD= c,且∠CDH=∠A∠BDC=A-B,所以,tan(A-B)最大∠BDC最大;过B、D两点作圆M,使得圆M与CH相切于点C,则∠BDC最大;由切割线定理:CH2=HDHB=c2CH=ctanA=2,tanB=tan(A-B)的最大值= [点评]:利用三角条件包装米勒问题是高考常用的命题手法;三角条件不仅可以包装米勒问题两定点M、N和所求点所在的定直线l,而且还可隐含待求角. 3.解析背景 子题类型Ⅲ:(2005年浙江高考理科试题)如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F1,F2在x轴上,长轴A1A2的长为4,左准线l与x轴的交点为M,|MA1|:|A1F1|=2:1. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线l1:x=m(|m|1),P为l1上的动点,使∠F2PF2最大的点P记为Q, 求点Q的坐标(用m表示). [分析]:由已知易解第(Ⅰ)问;第(Ⅱ)问是典型的米勒问题. [解析]:(Ⅰ)设椭圆的长、短半轴长分别为a、b,半焦距为c,由|A1A2|=4,|MA1|:|A1F1|=2:12a=4,(-a):(a-c)=2:1 a=2,c=1椭圆的方程:+=1; (Ⅱ)过F1、F2两点作圆T,使得圆T与直线l1相切于点Q,由任意点P都不在圆T内和由圆外角定理知,∠F1QF2≥∠F1PF2,即点Q符合题意;设N(m,0),由切割线定理:|NQ|2=|NF1||NF2|=(m-1)(m+1)=m2-1|NQ|=点Q(m,). [点评]:由于二次曲线中有许多特征点和线,以这些特征点和线为基础可以构造许多有意义的米勒问题,同时可以得到一系列有趣的结论. 4.子题系列: 1.(1984年西安市中学生数学竞赛试题)如图,在直线AB上求点P,使P对线段MN有最大视角, 证明你的结论. 2.(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛试题)已知4.(2005年天津高考试题)某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔, 如图所示,塔高BC=80(米),塔所在的山高OB=220(米),OA=200(米),图中 所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上,l与水平地面的夹角为α, tanα=.试问此人距水平地面多高时,观看塔的视角∠BPC最大(不计 此人的身高). 5.(2010年江苏高考试题)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位:m),如示意图