线性代数 仿射变换简介.pdfVIP

相片变形动画后面的 线性代数—仿射变换 在一些科幻电影中, 常看到一个好端端的人变成了 一个面目狰狞的怪兽, 而且不是孙悟空的摇身一变, 而是一种平滑的过渡, 即人脸的各部分(如眼, 耳,鼻 等)同时变化, 展现出来的是一个自然的变化过程. 这种变化过程及其给观众的视觉感受是怎样实现的? 怎样用统一的方法, 实现任意两张相片之间的变换? 可能有很多不同的方法, 其中一种是基于线性代数知 识实现的. 具体来说, 是通过矩阵和向量运算来实现的. 下面对此作一个简单介绍. 本文主要改编自 Image Metamorphosis by Affine Transformations by T. Myers P. Spieger 内容概要 1. 线性变换及其产生的图形变换; 2. 仿射变换及其对三角形图形变换的唯一确定性; 3. 仿射变换用于三角形网格化后的相片变换; 4. 线性组合用于构作变形相片和色度的时间序列 一 、线性变换及其产生的图形变换 v xOy 2 设 是一个 矩阵, 是 平面(即 )上的任一向量. M 2 2 R xOy xOy xOy 将从 平面到 平面的映射w T (v) Mv 称为 2 平面(或 )上 的一个线性变换. w 称为变换的像. R T T 之所以称 为线性变换, 是因为 保持了线性组合的对应 关系: 2 v ,v R , , R, 有 1 2 T (v v ) T (v ) T (v ) 1 2 1 2 即: 向量的线性组合的像等于向量的像的线性组合. n 线性变换的概念可以推广到n 维空间 中去, 并以更一般 R 的形式定义. 2 R 上的线性变换有一个重要性质: 它把平面上的一条直线 仍变为一条直线(特殊情况下变为一个点), 证明如下: r uur r uur v 设x v ts 为平面上的任一直线(此直线过点 , 0 0 r 以 为方向向量), 它在变换下的像为 s ur r uur r uur r ur ur y T (x ) T (v ts ) T (v ) tT (s ) v ts 0 0 1 1 ur ur ur ur ur y v ts v s 而