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第4 讲 插值与拟合 司守奎 烟台市，海军航空工程学院数学教研室 Email ：sishoukui@163.com 插值：求过已知有限个数据点的近似函数。 拟合：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它 在这些点上的总偏差最小。 插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的 数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时容易确定， 有时则并不明显。 1 插值方法 插值中使用较多的是分段线性插值和三次样条插值。 1.1 分段线性插值 简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值 函数，记作I (x ) ，它满足I (x ) y ，且I (x ) 在每个小区间[x ,x ] 上是线性函数 n n i i n i i1 (i 0,1,,n) 。 I n (x ) 可以表示为 n I (x ) y l (x ) n i i i 0 x  xi1 , x [x , x ] (i 0时舍去）  i1 i x  x  i i1 x  xi1 l (x )  ， x [x , x ] （i n时舍去） i i i1 x  x  i i1 0， 其它   I n (x ) 有良好的收敛性，即对于x [a,b] 有， lim I n (x ) f (x ) 。 n x x n n 用I n (x ) 计算 点的插值时，只用到 左右的两个节点，计算量与节点个数 无关。但 越大，分段越多，插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够 了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。 1.2 样条插值 许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外形， 内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有 连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。 1.2.1 样条函数的概念 所谓样条（Spline ）本来是工程设计中使用的一种绘图工具，它是富有弹性的细木条或 细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线（称为样条曲线），并使连接点 处有连续的曲率。三次样条插值就是由此抽象出来的。 数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。具体地说，给定区间[a,b] 的一 个分划  : a x x x x b 0 1 n1 n 1 如果函数S (x ) 满足： m （i ）在每个小区间[x ,x ](i 0,1,,n 1) 上S (x ) 是 次多项式；