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通信原理 第8章差错控制编码 第8章差错控制编码 8.1 概述 差错控制编码即纠错编码，或信道编码。 信道分类：从差错控制角度看 随机信道：错码的出现是随机的 突发信道：错码是成串集中出现的 混合信道：既存在随机错码又存在突发错码 差错控制技术的种类 检错重发 前向纠错 反馈校验 检错删除 第8章差错控制编码 差错控制编码：常称为纠错编码 监督码元：上述4种技术中除第3种外，都是在接收端识别有无错码。所以在发送端需要在信息码元序列中增加一些差错控制码元，它们称为监督码元。 不同的编码方法，有不同的检错或纠错能力。 多余度：就是指增加的监督码元多少。例如，若编码序列中平均每两个信息码元就添加一个监督码元，则这种编码的多余度为1/3。 编码效率(简称码率) ：设编码序列中信息码元数量为k，总码元数量为n，则比值k/n 就是码率。 冗余度：监督码元数(n-k) 和信息码元数 k 之比。 理论上，差错控制以降低信息传输速率为代价换取提高传输可靠性。 第8章差错控制编码 分组码的码重和码距 码重：把码组中“1”的个数目称为码组的重量，简称码重。 码距：把两个码组中对应位上数字不同的位数称为码组的距离，简称码距。码距又称汉明距离。 例如，“000”＝晴，“011”＝云，“101”＝阴，“110”＝雨，4个码组之间，任意两个的距离均为2。 最小码距：把某种编码中各个码组之间距离的最小值称为最小码距(d0)。例如，上面的编码的最小码距d0 = 2。 第8章差错控制编码 码距和检纠错能力的关系 一种编码的最小码距d0的大小直接关系着这种编码的检错和纠错能力 为检出e个错码，要求最小码距 d0 ? e + 1 为纠正t个错码，要求d0≥2t+1 为纠正t个错码，同时检测e个错码，要求最小码距 第8章差错控制编码 8.2 线性分组码 基本概念 代数码：建立在代数学基础上的编码。 线性码：按照一组线性方程构成的代数码。在线性码中信息位和监督位是由一些线性代数方程联系着的。 线性分组码：按照一组线性方程构成的分组码 。 现以汉明码为例引入线性分组码的一般原理。 第8章差错控制编码 汉明码 ～能够纠正1位错码且编码效率较高的一种线性分组码 汉明码的构造原理。 在偶数监督码中，由于使用了一位监督位a0，它和信息位an-1 … a1一起构成一个代数式： 在接收端解码时，实际上就是在计算 若S = 0，就认为无错码；若S = 1，就认为有错码。现将上式称为监督关系式，S称为校正子。由于校正子S只有两种取值，故它只能代表有错和无错这两种信息，而不能指出错码的位置。 第8章差错控制编码 若监督位增加一位，即变成两位，则能增加一个类似的监督关系式。由于两个校正子的可能值有4种组合： 00，01，10，11，故能表示4种不同的信息。若用其中1种组合表示无错，则其余3种组合就有可能用来指示一个错码的3种不同位置。同理，r个监督关系式能指示1位错码的(2r – 1)个可能位置。 一般来说，若码长为n，信息位数为k，则监督位数r＝n－k。如果希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示1位错码的n种可能位置，则要求 下面通过一个例子来说明如何具体构造这些监督关系式。 第8章差错控制编码 例：设分组码(n, k)中k = 4，为了纠正1位错码，由上式可知，要求监督位数 r ? 3。若取 r = 3，则n = k + r = 7。我们用a6 a5? a0表示这7个码元，用S1、S2和S3表示3个监督关系式中的校正子，则S1、S2和S3的值与错码位置的对应关系可以规定如下表所列： 第8章差错控制编码 由表中规定可见，仅当一位错码的位置在a2 、a4、a5或a6时，校正子S1为1；否则S1为零。这就意味着a2 、a4、a5和a6四个码元构成偶数监督关系： 同理， a1、a3、a5和a6构成偶数监督关系： 以及a0、a3、a4 和a6构成偶数监督关系 第8章差错控制编码 在发送端编码时，信息位a6、a5、a4和a3的值决定于输入信号，因此它们是随机的。监督位a2、a1和a0应根据信息位的取值按监督关系来确定，即监督位应使上3式中S1、S2和S3的值为0（表示编成的码组中应无错码）： 上式经过移项运算，解出监督位 给定信息位后，可以直接按上式算出监督位， 结果见下表： 第8章差错控制编码 第8章差错控制编码 接收端收到每个码组后，先计算出S1、S2和S3，再查表判断错码情况。例如，若接收码组为0000011，按上述公式计算可得：S1 = 0，S2 = 1，S3 = 1。由于S1 S2 S3 等于011，故查表可知在a3位有1错码。 按照上述方法构造的码称为汉明码。表中所列的(7, 4)汉明码的最小码距d0 = 3