老师告诉你如何举一反三.docVIP

老师教你如何做到举一反三！ 我们常说数学是一门抽象而又充满无穷趣味的学科，通过对数学问题的思考和探索，能极大的锻炼我们的逻辑思维和分析问题解决问题的能力。数学学进去了，会觉得越学越有劲。可是很多同学并没有感受到数学的魅力，只是为了做题而做题，应付考试而已。在数学的学习中，只有不断思考探究才能真正有所成，其实也就是我们常说的要学会举一反三，在这里，我就借一个题来让大家感受一下。 本题考查的是切割线定理的应用，只要观察到可以使用两次切割线定理，便不难解决。可能很多学生做完本题也就结束了。其实在这里，我们不难发现如下结论：两圆相交时，公共弦（CD）所在的直线平分两圆的公切线！ 程度稍微好一点的学生，可能会把这当做一个结论来记住，也许某一天考试当中能够用到，那么也就事半功倍了。但我们的思考显然还未停止，我们知道，两个圆公切线的条数和两个圆的位置关系有关，既然两圆相交时有以上结论，那对于其他的位置关系时，会不会也有类似的结论呢？首先我们回忆一下，两个圆公切线的条数是多少。外离：4条；外切：3条；相交：2条；内切：1条；内含：0条。很明显，当两圆内切和内含时，再思考这个问题变得没有意义，因为公切线只有1条或0条。那对于外切和外离时呢？ 可能有的同学会说，两圆外离时便没有公共弦了。确实，不过，我们可以思考下，当两圆相交时，将其中一个圆渐渐往外拉，慢慢我们会发现当C、D两点距离逐渐缩小到一点后，我们能感觉到，其实两圆外切时，这条“公共弦”便可以看作这两外切圆的公切线PC！ 不得不说，这是个神奇的发现！也许某一次的考试就会出现这么个考点，而你，早早地思考发现了它！（PS：我们知道，考试中经常会出现我们没见过的题目、题型，导致大家不知所措，可也许我们平时思考的深入些，就会发现更多更深刻的原理、结论，即思考在命题人的角度上。）当然，我们不能就这么停下思考的脚步，当两圆外离时呢？学生说，两圆外切还可以理解为公切线，两圆外离时这两个圆之间可啥都没有了啊！不错，但是我们可以想想，当两个圆外离时，共产生四条公切线，细分为内公切线（2条）和外公切线（2条）。怎样产生这条类似的“公共弦”呢？容易发现，当两圆相交和外切时，“公共弦”都是垂直于两个圆心的连线（连心线），那外离时，怎样找到与连心线垂直的线呢？没错，过两内公切线的交点进行构造！ 这个时候，点Q会不会仍然是AB的中点呢？这是一个值得好好研究的问题，可遗憾的是，我们尝试后发现，点Q并不是AB的中点。似乎我们的思考就到此为止了？我们没有找到想要的答案，是不是这样的思考就没有意义了呢？可是我坚信，这样的思考是有价值的！成功总是建立在不断的失败和尝试上。可以插一句，很多竞赛题，就是这么不断推广思考而产生的！ 到底是哪根直线，使得它平分这两个圆的公切线呢？学过数学竞赛的同学就会知道了，这根直线就是这两个圆的根轴。（假设平面上有一圆O，其半径为R，有一点P在圆O外，则OP^2-R^2即为P点到圆O的幂；在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。）而实际上，我们讨论的这一系列问题，它的根本都是根轴。这样的思考是不是特别有意义呢？（PS：在这里，顺便给大家一个简单的题目进行思考：两圆外离时，两外公切线和两内公切线的四个交点C、D、E、F四点共圆！）