连续型随与机变量及其概率分布 .pptVIP

* §2.1 随机变量及其分布函数 一、随机变量的概念 基本事件 二、随机变量的分布函数 是右连续的函数. (2) (1) (4) (3) (5) 是单调不减的函数； 复 习 复习 §2.2 离散型随机变量及其概率分布 二、离散型随机变量的常用分布 概率函数 分布函数 由若干直线段组成的右连续“台阶形”曲线. 一、离散型随机变量及其分布 1、 二项分布 (2) 若 不是整数，则 (1) 若 是整数，则 最大 最大 2、 Poisson分布 泊松定理 时, 概率密度的性质 §2.3 连续型随机变量及其概率分布 一、连续型随机变量的特点 分布函数一定连续 二、连续型随机变量的密度函数 三、连续型随机变量一般定义 四、连续型随机变量的常见分布 1、均匀分布 2、指数分布 连续型随机变量 取得它的任何可能值 的概率等于零， 连续型随机变量 的分布函数 §2.3 连续型随机变量及其概率分布 一、连续型随机变量的特点 连续型随机变量在试验的结果中可以取得某一区间内的任何数值. 讨论连续型随机变量并不关心它等于某一个值的的概率，而是关心它落在某一区间内的概率 概率为0的事件未必是不可能事件，概率为1的事件未必是必然事件 一定是连续函数 的圆内的概率，与圆盘上以 为半径的同心圆的面积成正比， 弹着点到圆盘中心的距离，射手击中以靶心为中心，以 为半径 射手射击时，设目标靶是半径为20厘米的圆盘，以 表示 设每次射击都能中靶，试求 的分布函数 并求概率 例1 解 当 时，设 ，则由题意得 当 时， 设连续型随机变量 是电子管的使用寿命，则 的分布函数 ，其中 是常数， 表示当 时，较 使用了 小时的电子管在以后的 小时内损坏的概率等于 例2 高阶的无穷小量. 求电子管的使用寿命(即电子管损坏前已使用的时数)的分布函数. 解 二、连续型随机变量的密度函数 随机变量X 在区间 上的平均概率分布密度: 随机变量X 在点 x 处的概率分布密度(或概率密度)为: 连续型随机变量的分布函数 与概率密度 有如下关系： 概率密度的性质： (1)：非负性 [注]: (2)：规范性 概率密度的图形 通常叫做 分布曲线。 连续型随机变量 落在区间 内的概率为： [或 ] (3)： 直观。 述它的分布比分布函数 机变量，用概率密度描 因此对于连续型随 附近的值的概率大小。 取 映出 的大小能反 的概率分布的密集程度 在点 而是 的概率 取值 不是随机变量 概率密度 x X x f x X x X x f ) ( , , ) ( 的圆内的概率，与圆盘上以 为半径的同心圆的面积成正比， 弹着点到圆盘中心的距离，射手击中以靶心为中心，以 为半径 射手射击时，设目标靶是半径为20厘米的圆盘，以 表示 设每次射击都能中靶，试求 的密度函数 并求概率 例3 解 对任意实数 ，有 设 为随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ， 则 称为连续型随机变量，称 为 的概率密度函数或分布密度函数，简称为概率密度或密度函数. 三、连续型随机变量一般定义 定义 利用上述定义，我们可以很容易地推出概率密度的性质 例4 设连续型随机变量 X 的概率密度为 其中 k 为正整数，求系数 A 的值。 解 令 得 即： 伽玛函数的定义： 伽玛函数的性质： P44 [注]： 若随机变量 X 的概率密度为 则此分布叫做自由度为 k 的 分布 ， 并记作 。 练习 (柯西分布)设连续随机变量X 的分布函数为 求: (1)系数 A 及 B ; (2) 随机变量X 落在区间(-1,1)内的概率; (3)随机变量X的概率密度. 解 (1) 解得 (2) (3) 连续型 密度函数 X ~ p(x) ( 不唯一 ) 2. 4. P(X=a) = 0 离散型 分布列: pn = P(X=xn) ( 唯一 ) 2. F(x) = 3. F(a+0) = F(a); P(aX?b) = F(b)?F(a). 4. 点点计较 5. F(x)为阶梯函