线性代数与§6.4 .pptVIP

是正定的，因而与它等价的二次型 是正定的。 所以 为矩阵的二次型 这里 ，然而 则 例9 判别二次型 是否正定. 解 它的顺序主子式 故上述二次型是正定的. 例10 判定下列矩阵的正定性 解：因为|A|=0,所以A不是正定的； 因为|B|0,所以B不正定； 因为 所以C不正定. 必要条件 因为 所以D不正定. 充要条件 也可以用特征值法判定. 例11 已知矩阵 正定，求t的范围. 解：因为A正定，所以 由 解得 于是得到 t 的取值范围是： 例12：设A为n阶正定矩阵，证明 |A+I| 1. 证明：因为A正定，所以A的特征值 而（A＋I）的特征值为 故 三、其他类型的实二次型 定义3 设 为n元实二次型，对于 任意一个非零向量x， (1) 都有 ，则称f是半正定的； (2) 都有 ，则称f是负定的； (4) 如果 既不是半正定也不是半负定， 则称f是不定的。 (3) 都有 ，则称f是半负定的； 注：以上二次型对应的实对称矩阵分别叫做半正定矩阵， 负定矩阵，半负定矩阵。 定理4 对于n元实二次型f，下列命题等价： （1）f负定； （2）f的负惯性指数是n，即其规范形为 （3）f的矩阵A的特征值全小于0； （4）存在可逆矩阵P使得 （5）f的矩阵A的的顺序主子式 满足 即，奇数阶顺序主子式小于0， 偶数阶顺序主子式大于0， 定理5 对于n元实二次型f，下列命题等价： （1）f半正定； （2）f的正惯性指数是 ，即其规范形为 （3）f的矩阵A的特征值全大于等于0，且至少有一个 特征值为0。 （4）f的矩阵A的的顺序主子式全大于等于0， 且至少有一个等于0。 （5）存在退化矩阵P使得 例4 判别二次型 的正定性. 解 小结 2. 正定二次型(正定矩阵)的判别方法: (1) 定义法; (2) 主子式判别法; (3) 特征值判别法. 　　1. 正定二次型的概念, 正定二次型与正定矩阵的区别与联系. 　　3.　根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）及半正定二次型（矩阵） 相应的判别方法． 思考题 设A, B分别为m阶, 阶n正定矩阵, 试判定分块矩阵 是否为正定矩阵. 思考题解答 C是正定的. 设zT=(xT, yT)为m+n维列向量, 其中x, y分别是m维, n维列向量, 若 z?0, 则x, y不同时为零向量, 于是 故C为正定矩阵. 显然C是实对称阵. 也可以按主子式方法证明. §6.4 正定二次型和正定矩阵 一、正定二次型的概念 例1 判别下列二次型的符号： 1） 2） 3） 4） 解：1）由于 故二次型恒正。 2）由于 故二次型符号不定。 定义1: 设有实二次型 f(x)=xTAx,显然 f (0)=0. 如果对任意的 x ? 0, 都有 f(x)0, 则称 f 为正定二次型, 并称对称矩阵A为正定矩阵. 如果对任意的 x ? 0, 都有 f(x)0, 则称 f 为负定二次型, 并称对称矩阵A为负定矩阵. 例如: f = x2 + 4y2 + 16z2 为正定二次型。 注意：正定矩阵一定是对称矩阵. 3）由于 故二次型恒负。 4）由于 故二次型符号不定。 为此我们给出： (1) 二次型 正定 充分性，若 假设 取 则 与 f 正定矛盾！ 再证必要性，用反证法 则 由定义知， 为正定二次型。 （2）二次型 经过可逆变换x＝Cy化为二次型 正定性保持不变. 一方面，由 正定 正定. 任取 由x＝Cy得到与 对应的 因为 正定，所以 即 故 正定. 另一方面，由 正定 正定. 任取 由 x＝Cy 得到与 对应的 因为 正定，所以 即 故 正定. （3）判断二次型的正定性，可先将其化为标准形或 规范形，再判断. (4) 由（2）和正定矩阵的定义可知正定矩阵的 合同矩阵仍然是正定矩阵. 二、正定二次型和正定矩阵的判定 1、用二次型的标准形或规范形判别二次型的正定性 定理1：若A是