第10讲：与均值定理 .pptVIP

* 问题：将一张正方形的纸片，裁剪成四个 全等的三角形纸片，要求以正方形的边作为直 三角形的斜边，如何剪？ 图 a b c 图① a b c 图② 从上面实例可知，若a＞0，b＞0则a2+b2≥2ab （当a=b时取等号），那么a2+b2≥2ab是否对于a、 b∈R都成立呢？ 由于不等式复杂多样，仅有实数大小比较法则是不够的，我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法 式子a2+b2≥2ab表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍 这就是本节要介绍的一个重要不等式，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立，由于取“=”这种情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出等号“=”成立的充要条件 式子 a2+b2≥2ab中取等号的充要条件是什么呢？ 如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当 a=b时取“=”号） 充要条件通常用“当且仅当”来表示，“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的，所以a2+b2≥2ab可以表述为： 例1：已知a＞0，b＞0 求证：a+b≥2√ab 定理：如果a、b是正数，那么 ≥√ab (当且仅当a=b时取“=”号)。 a+b 2 这一定理又可叙述为：两个正数的算术平 均数不小于它们的几何平均数。 称 为a、b的算术平均数，称 √ab为a、b的几何平均数 a+b 2 这里要注意代换法的应用 该定理是否还有另外的表述？ 如果把 看作是正数a、b的等差中项， 看作是正数a、b的等比中项，那么该定 理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于 它们的等比中项。 a+b 2 √ab 现给出这一定理的一种几何解释（演示） 定理有何特征？ 现在有谁能快速地求出函数y=x2+ 的最小值。 1 x2 一边是和，一边是积。 由此例我们能发现什么？具体的说，要求两个正数和的最小值，只要什么是定值呢？ 如果两正数的和为定值，你能获得怎样的结果呢？ 证明：因为x，y都是正数，所以 ≥√xy ，积 xy为定值p时，有 ≥√P ， ∴x+y≥2√P . 上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，和x+y 有最小值2√P 。 x+y 2 x+y 2 例2（1）已知x，y都是正数，求证：如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2√p 。 （2）x，y都是正数,如果和x+y是定值S，那么当 x=y时，积xy有最大值 S2。 1 4 证明：和x+y为定值S时，有√xy ≤ ， ∴ xy≤ S2。 上式当x=y时取“=”号，因此x=y时，积xy有最 大值 S2。 S 2 1 4 1 4 1）两个正数，积定和小，和定积大。 总结： 2）运用定理时，可以进行灵活变形，如 判断下列命题的真假 （1）若a，b∈R 则 + ≥2√ · =2 （2）若ab＞0 则 + ≥2　　　　　　 （3）若x＞0 则x+ ≥2√x · =2 （4）若x＞0 则sinx+ ≥2√sinx · =2 ba ab ba ab 1x 1 x a b b a 1 sinx 1 sinx 例3： 已知a，b，c，d都是正数 求证：（ab+cd）(ac+bd)≥4abcd。 引申：若a，b，c，d都是正数 求证：(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc ab+cd 2 √ab·cd＞0 ac+bd 2 √ac·bd＞0 证明：由a，b，c，d都是正数，得 ≥ ， ≥ ∴ ≥abcd， 即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd (ab+cd)(ac+bd) 4 *