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欢迎进入 第 九 章 　　　 环 和 域 证:?a?G?a?aH ?G=Ua?GaH 由定理17 ，H的左陪集集合是G的一个划分 又?a,b?G,|aH|=|bH|=|H| ?|G|/|H|是G的划分的块数,是个整数 ?|H|可整除|G| 二.拉格朗日定理阶关系 证:设G,*是一个群,e为么元,则 在G中不存在这样的元素a：a ?e，a=a-1 ∵若a=a-1 则a2=e ?{a,e},*是G,*的子群 ∵|{a,e}|=2 ?由拉格朗日定理:2整除|G|，矛盾 ?G={e,a1,a1-1,a2,a2-1,?,an,an-1}，其中ai?ai-1 ?e*a*a1-1*?*an*an-1=e 同态与同余关系 同余关系定理 同余关系定理2 * * §9.1 陪集和拉格朗日定理 一.陪集 1.陪集定义 设H,*是群G,*的子群, aH={a*h|h ?H}称为元素a所确定的子群H,*的左陪集, a称为陪集的表示元素。 Ha={h * a |h ?H}称为元素a所确定的子群H,*的右陪集, 例1.求出N6,+6关于子群{0,3},+6的所有左陪集,右陪集 解:令H={0,3},则左陪集: 右陪集: 0H={0,3}=3H H0={0,3}=H3 1H={1,4}=4H H1={1,4}=H4 2H={2,5}=5H H2={2,5}=H5 从中可以看出：{0H,1H,2H}是G的一个划分 下一页 一.陪集 2.左陪集性质(所得结论对右陪集也平行成立) ①定理17.设H,*是G,*的子群,?a,b?G则aH=bH或aH∩bH=Ф 证:设?f?aH∩bH ? ? h1，h2?H，使f=a*h1=b*h2 ? a=b*h2*h1-1?bH ?x?aH则?h3?H,x=a*h3=b*h2*h1-1*h3?bH ?aH?bH，同理bH?aH ?aH=bH 下一页 一.陪集 ②定理18.子群H的任意左陪集的大小(基数)相等 证:?a?G,a*h1,a*h2?aH h1?h2 ?a*h1?a*h2 ?|aH|=|H| ?H的任意陪集大小相同 下一页 二.拉格朗日定理 定理18.有限群G,*的任意子群H,*的阶数可以除尽群的阶数 下一页 性质 推论: 1.质数阶的群没有非平凡子群,({e},*,G,*称为G,*的平凡子群) 2.有限群G,*中的任何元素a的阶可整除|G| 证:若a?G的阶是r,则{e,a a2, a3 , …,ar-1}是G的子群 3.质数阶的群,一定是循环群 证:设G,*为质数阶群 ?a?G,a?e 由推论2知: a的阶数可整除|G|,但是|G|为质数,所以a的阶数等于群的阶数, ?{a,a2,?,ar}=G ?G,*是循环群 下一页 二.拉格朗日定理 2.左陪集等价关系 ①定义:设H,*是群G,*的子群,则H的左陪集集合是G的一个划分,由此划分导出的等价关系称为H的左陪集等价关系,左陪集等价关系记为? 定理：a?b?a-1 b?H 证: a?b?b?aH?b=a*h,h?H?a-1b?H 下一页 例1.试证奇数阶群所有元素之积等于么元 下一页 二.拉格朗日定理阶关系 例3.四阶群只有二个,一个是循环群,另一个是Klein四元群 证:e e a b c e e a b c e e a b c e e a b c a a b c e a a e c b b b c e a b b c e a c c e a b c c b a e 生成元为a 由拉格朗日定理知： a，b，c的阶只能为2 下一页 例3 例3.四阶群只有二个,一个是循环群,另一个是Klein四元群 证:e e a b c e e a b c e e a b c e