高数第五章_定积分习题详细解答20110919.docVIP

习 题 5.1 1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）, （2）, （3）, （4）. 解：若在几何上表示由曲线，直线 及轴所围成平面图形的面积. 若时，在几何 上表示由曲线，直线及轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，. （2）由上图（2）所示，. （3）由上图（3）所示，. （4）由上图（4）所示，. 2. 设物体以速度作直线运动，用定积分表示时间从0到5该物体移动的路程S. 解： 3. 用定积分的定义计算定积分,其中为一定常数. 解：任取分点,把分成个小区间 ，小区间长度记为=-,在每个小区间 上任取一点作乘积的和式： , 记, 则. 4. 利用定积分定义计算. 解：连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对 等分，分点取相应小区间的右端点，故 = = = 当（即），由定积分的定义得： =． 5. 利用定积分的估值公式，估计定积分的值. 解：先求在上的最值，由 , 得或. 比较 的大小，知 ， 由定积分的估值公式，得, 即 . 6. 利用定积分的性质说明与，哪个积分值较大？ 解：在区间内：,由比较定理： 7. 证明：. 证明：考虑上的函数，则 ，令得，当时，，当时，. ∴在处取最大值，且在处取最小值. 故，即. 8. 求函数在闭区间[-1，1]上的平均值. 解：平均值 9. 设在[0，1]上连续且单调递减，试证对任何有. 证明： = = 其中 , 又单调减，则，故原式得证. 习 题 5-2 1．设，求. 解：， 2．设，求. 3. 计算下列各导数. （1）； （2）； （3） 解 （1） （2） （3） 4. 计算下列各定积分： （1）， （2）， （3）, （4）, （5）, （6）, （7）, （8）, （9）, （10） （11）, （12）, (13) . 解：（1）=. （2）=. （3）. （4）=. （5）. （6）. （7）===. (8) ==. (9) ===. （10）===. （11）. （12）=+==2+2=4. (13) =. 5. 求下列极限 （1） , （2）. 解：（1）此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得 == （2） . 6. 求函数极值点. 解： 当令，得驻点，和， 在，，在单调递减； 在，，在单调递减； 在，，在单调递减； 所以 为极小值点，为极大值点. 为极小值点， 7. 设，求. 解：. 8. 设，求，并讨论在上的连续性. 解：当时， 当时， 故, 显然，在和上连续，在处 ，，又，故在也连续，从而在上连续. 9. 设是连续函数，且，求. 解：令，则，从而， 即 ， ∴. 10．. 解：原式. 11．求. 解：原式. 12．求由所决定的隐函数对的导数. 解：将两边对求导得 ∴. 13. 设为连续可微函数，试求 并用此结果求 解 故 . 14. 设在内连续且，证明函数 在内为单调增加函数. 证 因为=，=,所以 因为,且当时, ,得,因此， ， 即 ，所以在内为单调增加函数. 15. 证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则在开区间内至少存在一点，使 . 证：因连续，故它的原函数存在，设为，根据牛顿-莱布尼茨公式，有 , 显然，函数在区间满足微分中值定理的条件，按照微分中值定理，在开区间内至少存在一点，使得 故 习 题 5-3 1. 下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果： （1）= ==. （2）= ==2=2. 答：（1）不正确，应该为： = （2）不正确，应该为 =2. 2. 计算下列定积分: (1) ； (2) ； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； (10)； (11) ；（12）. 解：（1）令=,则,当= 0 时，= 0；当= 4 时，，于是 = （2）==. (3). (4) . (5)令，，，时；时，. 于是 . (6) 令，则，.当时，，当时，. 原式. (7) 令，.当时，；当时，. 原式 (8) 因为= 从而 =. (9) 原式. (10) 原式. (11) 原式. . （12）设，，于是 =. 3. 计算下列定积分： （1）； （2）； （3）；