高宏第三章最优控制.docVIP

第三章 最优控制（上）-变分法 第一节 动态优化简介 一、静态优化问题 如果一个企业要确定一个最优产出水平以最大利润： （1） 这样的问题的解通常将是一数，即确定选择变量的单个最优值。最优值常可由一阶条件确定。 动态问题是多期（multiperiod）的，但是并不是有多期的时间就是动态问题。考虑企业的多期决策问题： （2） 描述的是每阶段的产出组成的序列，即给出了一个产出的时间路径。显而易见，总利润不是由单期的产出决定，而是由整个的产出的时间路径确定，所以要使利润最大化，实质上是要找到一条最优的路径（而不是单个期的）。但由于期利润只与期的产出有关，所以要在整个时间序列内最大化利润，就只要分别在每一期最大化利润即可，即这一个问题的解是一个有个数的集合，。所以由于任一产量只影响该期利润，问题（2）实际上是一系列的静态问题，即在每一期选择当前产量使该期利润最大化。问题（2）有类似的个一阶条件，各期的一阶条件之间没有联系。在Ramsey模型的竞争性均衡结构中，生产者问题就具有这样的性质。 二、动态问题 具有动态性质的问题是，当前的产出不但影响到当前的利润，还影响到未来的利润。更为一般地来说，当前决策影响未来决策。 给定或 （3） 在问题（3）中，每一期的利润不但取决于当前产量，还与过去的产量有关；换句话说，期选择的产量不但影响期的利润，还会影响到以后的利润。注意，上述问题中已指定了。影响到了以后各期的利润（从而也影响到总利润）。 问题（3）与问题（2）不同，它的最优解的个一阶条件不能分别确定，而是要同时确定，也就是我们实际上要“一次性”确定一条最优路径。每一产出路径对应一个利润（目标值），这种路径（而不是单个数值）到实数之间的映射关系叫泛函。在动态优化中，我们处理的问题的目标函数通常是泛函形式，称为目标泛函。简而言之，函数是值到值的对应关系，而泛函是路径到值的对应关系。 问题（3）中，我们假设了一个给定的初始点，即初始时间给定，且初始时刻的产出（状态）已知。注意初始点有两个维度：时间与状态。有时终结点也给定的，即已知结束的时间与状态。 三、连续时间情形 问题（2）与（3）的连续时间对应物分别是问题（4）与（5）： （4） （5） 和前面一样，只有（5）才真正具有“动态”性质：即现在与将来相关。注意（5）中是以作为自变量，而（3）中是，其原因在于在连续时间下“以前时期”没有明确含义，所以用状态的变化率来表示这种动态性。 四、问题的不同形式 我们后面处理的动态优化问题都是连续的形式（离散时间问题的处理都可用拉格朗日方法，参见第一章作业）。动态优化问题会因端点（起始点与终结点）不同而所有不同。一般经济学中遇到的问题都可认为起始点已知，下面我们讨论不同终结点的变形。图1表述的固定终结点的三条不同时间路径A、B、C，目标函数是不同路径的泛函。这个问题中，终结点已知，时间为，状态为，即。 图2为垂直终结线（固定时间）问题；图3为水平终结线问题，图4为终结曲线问题。在图2、3、4中，终结点要自由一些。图2中终结的时间已限定，但状态可自由变化；图3中相反；图4中时间与状态均未限定，但两者有一个约束条件。 这三种形式的问题中，对路径的选择比前面固定终结点更自由，所以为了推导出最优的目标值，要对路径选择加以限制，即以一个附加条件来确定所选的确切路径。这个条件就是横截性条件（TVC），它描述的是最优路径如何跨越（穿过）终结线。在固定终结点问题中已知了这样的条件，而可变端点（即终结点）时，要推导出一个条件。 五、三种处理方法 总体来说，有三种常用的处理动态优化问题的方法：变分法、最优控制和动态规划。 1、变分（variation）是指状态的整个路径的变化（如产出的变化）。变分的基本问题如下： ，，、、给定 （6） 回忆静态优化问题：。其一阶条件为： 可以这样看待这个一阶条件：假设已知最优值，它将满足的条件是，对它无穷小的扰动将对目标值没有影响。推导变分法一阶条件的思路和静态优化一样：假定已找到了使目标值最优的路径（极值曲线），给它一个很小的扰动，应有。差别是，在变分法问题中，扰动改变了整个时间路径而不是单个状态值。 变分法的特点：①直接从状态入手，即路径入手；②要求进入问题的函数可微；③处理角点解问题不方便。 2、最优控制 最优控制的基本问题为： ，，自由，、给定 （7） （7）与（6）不同：①进入目标函数的不是，而是。是控制变量，控制了的变动。方程叫运