复变函数教程1专用课件.ppt

复变函数与积分变换 历史复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。 单复变函数的理论基础是在19世纪由柯西、魏尔斯特拉斯和黎曼所奠定的。柯西的积分理论，魏尔斯特拉斯的无穷级数理论和黎曼的共形（保角）映射理论构成优美的单复变函数论。 复变函数论在数学领域的许多分支都有深刻的应用，已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。复变函数论在实际应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。俄国数学家茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题。 问题的提出 1，已知 求 2，欧拉公式（数学中的美学高峰）： 3，Fermat-Torricelli问题：已知平面中若干个点，求另外一点使得它与给定的点的距离之和最小。 4，Fermat问题，经典平面几何难题。 5，电位、电力线问题：已知两电板（平直或者弯曲）的电位，求两电板之间的电位及电力线方向。 复数 有许多的原因使得数的概念必须越出实数域而引进复数。最早要求引进复数是为了解三次方程，但通常为容易理解故，都是从二次方程引入。实数域内没有提供解二次方程的完整理论，就如解 这样的简单方程都没有实数解。 摆在面前有两种方案可供选择：1，干脆宣布此方程无解；2，扩充数的概念，引进一种新的数（虚想之数），并记此数为“i”，称为虚数单位。历史上曾有不少数学家持第一种态度，然而更多的则采取第二种开放的态度，引进复数。 复数的球面表示与扩充复平面 复平面点集与区域 平面图形的复数表示 复 变 函 数 复变函数的极限与连续 作业 1，求问题1的解答 2，求问题3的解答。 3,证明：若|z1|=|z2|=|z3|=1, z1 + z2 + z3 =0, 则z1 ， z2 ，z3是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的三顶点。 4，如右上图，在锐角三角形中求一点，使得它与三顶点连线距离最短，则中间三线构成的角度相等。 它表示在圆 外且属于左半平面的所有点的集合 复变函数的定义 设 D 是复变数z的一个集合，对于 D 中的每一个z，按照一定的规律，有一个或多个复数w的值与之对应，则称w为定义在 D 上的复变函数，记做 单值函数 f(z): 对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。 多值函数 f(z): 对于D中的每个z，有两个或两个以上 w 与之对应。 定义： 我们主要考虑单值函数 f(z)是单射（或一对一映射） 对于任意 f(z)是满射 f(z)是双射 f(z) 既是单射，又是满射。 例： 1 -1 -1 -10 -8 -6 -4 -2 x 2 4 6 8 v=10 1 y -10 -8 -6 -4 -2 u=0 2 4 6 8 u v 10 10 -10 -10 函数的极限 定义：设函数w = f (z)定义在z0的去心邻域 如果有一确定的数A存在，对于任意给定的 相应地必有一正数 使得当 时有 那么称A为f (z) 当z 趋向z0时的极限，记作 几何意义：当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时，它的 象点 f(z)就落入A的预先给定的小邻域内。 关于极限的计算，有下面的定理。 注意：z趋于z0的方式是任意的，就是说，无论z从什么方向，以何种方式趋向于z0，f(z)都要趋向于同一个常数。 定理一 定理二 例 证明函数 当z趋于0时的极限不存在。 解法一 令z=x+iy, 则 所以极限不存在。 解法2 利用复数的三角表示式 当z沿着不同的射线 趋于零时，f(z) 趋于不同的值。 如 极限不存在。 函数的连续 如果 那么f(z)在z0处连续。 如果 f(z)在D内各点都连续，那么 f(z) 在 D 内连续。 定理： f(z)在z0处连续的充分必要条件是 u(x,y), v(x,y) 在（x0，y0）处连续。 连续函数的四则运算、复合运算都成立。 有界闭区域上的连续函数的最值定理。 例： 一致连续 （同学们结合微积分中的定义尝试给出） * * 第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数 第六章 保角（共形）映射及其应用 第七章 F