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将下复数化为指数形式 完 exe 复数乘(除)法的几何意义 用复数的指数形式表示复数的乘法和除法很方便,如 复数的乘/除法的几何意义从图上看更直观. 0 x y 应理解为集合相等的关系. 求复数 的模和辐角主值. 例6 完 已知正三角形的两个顶点为(0,0),(3,2), 求另一顶点. 例7 参考解答 参考解答 已知正方形的两个对角顶点为(0,0),(1,1),求另一对顶点. 0 (1,1) x y Ref：(0,1),(1,0) 思考 完 复数的幂与方根 利用两个复数的乘法,很快可以得到n个复数的 乘积的模和辐角的计算. 模: 辐角: 利用指数形式,有De Moivre(德摩弗)公式 由于n次幂与n次方根是互逆运算 ,因此定义 复数的开n方的运算如下 这些根记作 n次方根 由于复根的成对性，以及习惯用0和正数表示下 标，事实上只要取k=0,1,…,n-1即可以了.即 0 x y 由上面的结果知道,这n个根均匀分布以 为半径的圆周上. 完 0 x y 计算 . 例8 1 1 完 参考解答 * * * 湖南大学非数学类理工科数学系列课程 湖南大学数学与计量经济学院　 第一章　复 数 复平面 复数的球面表示 扩充复平面 第一章总结与习题 结束 复数的几何意义 复数的定义及其代数运算 序言 引言 复变函数论产生于十八世纪.1774年,Euler(欧拉)在 他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方 程.而比他更早时,法国数学家达朗贝尔在他的关于流体 力学的论文中,就已经得到了它们.因此,后来人们提到这 两个方程,把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”.到了十九 世纪,上述两个方程在Cauchy(柯西)和Riemann(黎曼)研 究流体力学时,作了更详细的研究,所以这两个方程也被 叫做“柯西-黎曼条件(C-R条件)”. 序 言 　　复变函数论的全面发展是在十九世纪,就像微积分 的直接扩展统治了十八世纪的数学那样,复变函数这个 新的分支统治了十九世纪的数学.当时的数学家公认复 变函数论是最丰饶的数学分支,并且称为这个世纪的数 学享受,也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一. 　　复变函数论在应用方面,涉及的面很广,有很多复杂 的计算都是用它来解决的.比如物理学上有很多不同的 稳定平面场, 对它们的研究是用复变函数来解决的. 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候,就用 复变函数论解决了飞机机翼的结构问题,他在运用复 变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做 出了贡献. 　　复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用,而 且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论.它已经 深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科,对 它们的发展很有影响. 复数的概念起源于求方程的根,在二次、三次代数 方程的求根中就出现了负数开平方的情况.在很长时间 里,人们对这类数不能理解.但随着数学的发展,这类数 的重要性就日益显现出来.复数的一般形式是: a+bi,其 中i是虚数单位. 以复数作为自变量的函数就叫做复变函数,而与之 相关的理论就是复变函数论. 完 解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函 数,复变函数论主要就研究复数域上的解析函数,因此 通常也称复变函数论为解析函数论. 复变函数是以研究复变量之间的相互依赖关系为 主要任务的一门数学课程.它与高等数学中的许多概 念、理论和方法有相似之处.但又有其固有的特性.因 此充分运用已学过的高等数学知识,紧紧抓住复变函数 的固有特性,是把本门课程学好的关键 . 第一节　复数的定义及其代数运算 复数的运算及复数域 例2 复数的模与共轭复数 结束 复数的概念及表示 教学要求 例1 例3 例4 引 言 本章的内容对以后学习将起到重要的作用. 从这章开始,我们将学习一个更大的数域—复数 域!大部分理论是微积分内容的延伸,因此学习本 课程,要求我们回顾微积分的内容,比较相同和不 同的地方. 完 教学要求 完 ◆ 熟练掌握复数的运算; ◆了解区域的概念; ◆了解约当(Jordan)曲线的概念. ◆熟练掌握复数的各种表示方法; 教学要求:对于概念和理论方面,从高到低分别用 “理解”,“了解”,“知道”三级来表述; 对于方法,运算和能力方面,从高到低分别用 “熟练掌握”,“掌握”,“能/会”三级来表述. 复数出现的必要性:我们熟悉的实数已经 不能满足需要了，如方程 就没有实数解,甚至我们知道,在实数范围内,这 个方程没有意义！要使(1)有意义,需要把数的范 围扩大,下面我们学习复