《实变函数》第一章集合.docVIP

第一章 集合 （总授课时数 8学时） 由德国数学家Cantor 所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性 而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括 实变函数论）的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学 课程．因此，在现代数学教育中，对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教 材的第一章．不过，对于实变函数论来说，集合论毕竟只是一个辅助工具，因此，本章 仅介绍那些必不可少的集论知识． §1、集合及其运算 教学目的 引入集的概念与集的运算, 使学生掌握集和集的基本运算规律. 本节重点 De Morgan 公式是常用的公式. 证明两个集相等和包含关系是经常要遇到的论证, 通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一种新型的运算, 学生应理解其概念. 本节难点 对集列极限的理解. 授课时数 2学时 —————————————————————————————— 一、集合的概念及其表示 集合也称作集，是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几 何学中的“点”、“直线”那样，只能用一组公理去刻画．就目前来说，我们只要求掌握 以下朴素的说法： “在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称 为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素．” 一个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确．以集合 作为元素的集合，也常称为集族或集类． 以后常用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素． 如果是集合的元素，则说属于，记作，或说A含有a． 如果不是集的元素，则说不属于，记作，或说A不含有a． 有些集合可用列举其元素的办法来表示，如： 只含有一个元素的集合称为单元素集或独点集，可表示为． 由个元素所组成的集合，可表示为 由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为． 当集是具有某性质的元素之全体时，我们用下面的形式表示： 例如，方程 的解x的全体组成的数集是， 实际上就是. 有时我们也把集具有性质改写成具有性质．例如，设 是定义在集合上的一实函数，是一个实数，我们把集写成 或． 不含任何元素的集合称为空集，记作． 设，是两个集，若 和的元素完全相同，就称和相等，记作= (或 =). 若集合的元素都是集合的元素，就称为是的子集，记作B (或B)， 读作 包含于 (或B 包含A)． 若A且,就称A是的真子集，规定空集是任何集的子集． 由集的“相等”与“包含”的定义可得如下定理： 定理1 对任何集合，，C，均有 （1）； （2）若，则； （3）且． 二 集合的运算 设，是两个集合，集合与的并集或并 集合与的交集或交 特别地，若，称与不相交；反之，则称与相交． 集合减的差集或差: 当时，称差集为关于的余集记作()． 当我们研究一个问题时，如果所讨论的集合都是某个固定集的子集时，就称 为基本集或全集，并把的子集关于的余集 简称为B 的余集，记为或. 并集与交集的概念可以推广到任意个集的情形，设为一非空集合，并且对每一个，指定了一个集合,此时我们称是以为指标集的集族，集族 的并与交分别定义为: 例 设则 , 关于集合的并和交显然有下面的性质：(见课本P9-P10) 更一般地有: De Morgan公式 , 证明（略） 注：通过取余集，使与，与互相转换. 三、集列极限 设是一个集合序列，，其上限集和下限集分别定义为 上极限集： 下极限集： 或除去有限个集外，有当充分大时，有 注： 例：设，则上极限集为,下极限集为. 极限集 如果集列的上极限集与下极限集相等，即 则称集列收敛，称其共同的极限为集列的极限集，记为： 单调增集列极限 定理2 ：单调集列是收敛的 1) 如果集列单调增加，则 2) 如果集列单调减少，则 例1：设则 ， 例2：设则 ， 小 结 本节介绍了集的基本概念, 集的运算和运算性质. 这些知识是本课程的基础. 证明两个集的相等是经常会遇到的, 应掌握其证明方法. De Morgan 公式很重要, 以后 会经常用到. 集列的极限是一种与数列极限不同的极限, 应正确理解其概念. —————————————————————————————— 作业：P30 5, 7, 8 练习题 1. 设为一集列： （1）作，证明为一列互不相交的集列，且 （2）若是单调减少的集列，证明 并且其中各项互不相交. 2. 证明: (1) , (2) (3) 单调递增时，有 (4) 单调递减时，有 3. 已知，求和，并问是否存在？ §2 对等与基数 教学目的 介绍映射, 基