(4-6)部分习题及其解答.docVIP

本教材习题和参考答案及部分习题解答 第四章 4.1已知物体内一点的六个应力分量为： ，，，，， 试求法线方向余弦为，，的微分面上的总应力、正应力和剪应力。 解：应力矢量的三个分量为 ，， 总应力。 正应力。 剪应力。 4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为和，在这两个面上的应力矢量分别为和，试证。 证：利用应力张量的对称性，可得 。证毕。 4.3某点的应力张量为 且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求及该平面的单位法向矢量。 解：设要求的单位法向矢量为，则按题意有 即 ，， (a) 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 上式有两个解：或。若，则代入式(a)中的三个式子，可得，这是不可能的。所以必有。将代入式(a)，利用，可求得 。 4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图4.8，下部受均匀压力作用，斜面自由，试验证应力分量 ， 满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数、和。 解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们满足平衡方程。 在的边界上，有边界条件 ， 所给的应力分量自动满足上面的第二个条件。将的表达式代入上面的第一个条件，得 (1) 在上斜面上，有，所以斜面上的应力分量可以简化成 ，， ， (2) 斜面上的外法向方向余弦为 ，， (3) 将式(2)和(3)代入边界条件，得 (4) 联立求解(1)和(4)，得 ，， 4.5图4.9表示一三角形水坝，已求得应力分量为 ，，， ， 和分别是坝身和水的比重。求常数、、、，使上述应力分量满足边界条件。 解：在的边界上，有边界条件 ， 将题中的应力分量代入上面两式，可解得：，。 在左侧的斜面上，，外法向方向余弦为 ，， 把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件，可解得：，。 4.6物体的表面由确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷，试写出其边界条件。 解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为 或 按题意，边界条件为 因此 即 上式的指标形式为 。 4.7如图4.10所示，半径为的球体，一半沉浸在密度为的液体内，试写出该球的全部边界条件。 解：球面的外法向单位矢量为 或 当时，有边界条件 即 或 。 当时，球面上的压力为，其中为重力加速度，边界条件为 即 或 。 4.8物体的应力状态为，其中为矢径的函数。(1)证明物体所受的体积力是有势力，即存在一个函数，使；(2)写出物体表面上的面力表达式。 解：(1)应力场必须满足平衡方程，所以 所以，只要令，就有。 (2)表面上的面力为 或 。 4.9已知六个应力分量中的，求应力张量的不变量并导出主应力公式。 解：应力张量的三个不变量为：，，。 特征方程是 上式的三个根即三个主应力为和 4.10已知三个主应力为、和，在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三角形，其法向单位矢量为 ，， 求八面体各个面上的正应力和剪应力。 解：， ，， 。 4.11某点的应力分量为，，求： (1)过此点法向为的面上的正应力和剪应力； (2)主方向、主应力、最大剪应力及其方向。 解：(1)， 。 正应力为。 剪应力为。 由此可知，是主应力，是和其对应的主方向。 (2)用表示主应力，则 所以，三个主应力是，。由上面的结论可知，和对应的主方向是，又因为是重根，所以和垂直的任何方向都是主方向。 第五章 5.1把线性各向同性弹性体的应变用应力表示为，试写出